[论文解读] Bi-interpretability with $\mathbb{Z}$ and models of the complete elementary theories of $ ext{SL}_n(\mathcal{O})$, $ ext{T}_n(\mathcal{O})$ and $ ext{GL}_n(\mathcal{O})$, $n\geq 3$

Mahmood Sohrabi, Alexei Myasnikov|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文建立了整数环 ℤ 与当 n ≥ 3 时的群 SLₙ(𝒪)、Tₙ(𝒪) 和 GLₙ(𝒪) 之间的互 interpretable 性，其中 𝒪 是一个数域的整数环。证明了任何与这些群初等等价的群，都同构于某个与 𝒪 初等等价的环 R 上的相应群，通过可 interpretable 性和上同调数据完全刻画了它们的初等模型。

ABSTRACT

Let $\mathcal{O}$ be the ring of integers of a number field, and let $n\geq 3$. This paper studies bi-interpretability of the ring of integers $\mathbb{Z}$ with the special linear group $ ext{SL}_n(\mathcal{O})$, the general linear group $ ext{GL}_n(\mathcal{O})$ and solvable group of all invertible uppertriangular matrices over $\mathcal{O}$, $ ext{T}_n(\mathcal{O})$. For each of these groups we provide a complete characterization of arbitrary models of their complete elementary theories.

研究动机与目标

• 刻画数域整数环 𝒪 上 SLₙ(𝒪)、Tₙ(𝒪) 和 GLₙ(𝒪) 的完全初等理论的所有模型。
• 确定这些群是否与 ℤ 互 interpretable，作为理解一阶刚性与准有限公理化性的一个步骤。
• 研究与 ℤ 的互 interpretable 性失败如何影响初等模型的结构，特别是通过上同调形变。
• 确立 GLₙ(𝒪) 的所有模型恰好是 GLₙ(R)，其中 R ≡ 𝒪，即使 𝒪 的单位群无限。
• 阐明中心扩张和对称 2-上循环在分类这些经典群的初等模型中的作用。

提出的方法

• 利用 ℤ 与 SLₙ(𝒪) 之间的互 interpretable 性，将可定义结构转移并刻画完全初等理论的模型。
• 利用对角子群 dᵢ(𝒪×) 及其在 SLₙ(𝒪) 上的作用的可定义性，将 𝒪 的环结构在群内进行 interpretable。
• 应用上同调技术，特别是对称 2-上循环 fᵢ，分析初等模型中中心和环子群的扩张。
• 利用 Tₙ(𝒪) 在 𝒪 中可 interpretable，但当 𝒪× 无限时与 ℤ 不互 interpretable 的事实，导致模型中出现阿贝尔形变。
• 证明 GLₙ(𝒪) 虽不与 ℤ 互 interpretable，但所有初等模型都同构于某个 R ≡ 𝒪 上的 GLₙ(R)，通过对称上循环恒等式证明 fᵢ ≡ 1。
• 使用群论语句在模型 H ≡ GLₙ(𝒪) 中定义子群 Δᵢ(R) 和 Δᵢⱼ(R)，通过关系 fᵢⁿ ≡ 1 和 fᵢ ≡ fⱼ (i ≠ j) 证明环子群的直积分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 n ≥ 3 且 𝒪 为数域整数环的情况，SLₙ(𝒪)、Tₙ(𝒪) 和 GLₙ(𝒪) 是否与 ℤ 互 interpretable？
• RQ2 对于任意模型 H 满足 H ≡ SLₙ(𝒪)、H ≡ Tₙ(𝒪) 或 H ≡ GLₙ(𝒪)，其结构如何？
• RQ3 当 𝒪× 无限时，与 ℤ 的互 interpretable 性失败如何影响初等模型的分类，特别是 Tₙ(𝒪) 的情况？
• RQ4 即使 GLₙ(𝒪) 不与 ℤ 互 interpretable，其初等模型是否仍可完全刻画为 GLₙ(R)，其中 R ≡ 𝒪？
• RQ5 对称 2-上循环 fᵢ 在分类这些群模型中中心和环子群的扩张中起什么作用？

主要发现

• 当 n ≥ 3 时，SLₙ(𝒪) 与 ℤ 互 interpretable，这意味着任何满足 H ≡ SLₙ(𝒪) 的模型 H 都同构于某个满足 R ≡ ℤ 的 SLₙ(R)。
• 当 𝒪× 无限时，Tₙ(𝒪) 不与 ℤ 互 interpretable，且任何满足 H ≡ Tₙ(𝒪) 的模型 H 都是某个满足 R ≡ 𝒪 的 Tₙ(R) 的阿贝尔形变。
• 当 𝒪× 无限时，GLₙ(𝒪) 不与 ℤ 互 interpretable，但所有满足 H ≡ GLₙ(𝒪) 的模型 H 都同构于某个满足 R ≡ 𝒪 的 GLₙ(R)。
• 定义子群 Δᵢ(R) 的对称 2-上循环 fᵢ 满足 fᵢⁿ ≡ 1 且 fᵢ ≡ fⱼ (i ≠ j)，从而强制 fᵢ ≡ 1，这意味着环子群 Eₙ 可分解为对角子群的直积。
• 子群 dᵢ(R×) 及其在 SLₙ(R) 上的作用的可定义性，使得可在模型 H 内 interpretable 环 R，从而确保 H ≅ GLₙ(R) 对于满足 R ≡ 𝒪 的 R。
• 当 R 是 ℤ 的非标准模型时，GLₙ(R) 的自同构数量（不可数）与 R 的自同构数量（可数）之间的矛盾，通过证明相关上循环必须平凡而得以避免。