[论文解读] Bi-Lipshitz Embedding of Ultrametric Cantor Sets into Euclidean Spaces

Jean Bellissard, Antoine Julien|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文通过基于树的形式化方法（Michon树）重新诠释并重新证明了：一个超度量Cantor集可双李普希茨嵌入有限维欧几里得空间，当且仅当其Assouad维数为有限。该框架被应用于证明线性重复和Sturmian子移位的可嵌入性，并构造了具有有限Hausdorff维数但不可双李普希茨嵌入的随机Galton–Watson树。

ABSTRACT

An ultrametric Cantor set can be seen as the boundary of a rooted weighted tree called the Michon tree. The notion of Assouad dimension is re-interpreted as seen on the Michon tree. The Assouad dimension of an ultrametric Cantor set is finite if and only if the space is bi-Lipschitz embeddable in a finite dimensional Euclidean space. This result, due to Assouad and refined by Luukkainen--Movahedi-Lankarani is re-proved in the Michon tree formalism. It is applied to answer the embedding question for some spaces which can be seen naturally as boundary of trees: linearly repetitive subshifts, Sturmian subshifts, and the boundary of Galton--Watson trees with random weights. Some of these give examples of nonembeddable spaces with finite Hausdorff dimension.

研究动机与目标

• 通过Michon树形式化方法，重新诠释并重新证明有限Assouad维数与在欧几里得空间中双李普希茨可嵌入性之间的等价性。
• 提供Assouad维数的明确树基描述，及其在超度量Cantor集嵌入定理中的作用。
• 将该框架应用于由子移位（线性重复和Sturmian）及随机Galton–Watson树产生的特定类超度量Cantor集。
• 通过构造具有有限Hausdorff维数但不可嵌入的反例，证明有限Hausdorff维数并不蕴含双李普希茨可嵌入性。
• 证明随机加权树边界的Hausdorff维数几乎必然等于临界指数 $ s_m $，且 $ s_m $-维Hausdorff测度为随机概率测度。

提出的方法

• 将超度量Cantor集表示为根加权树（Michon树）的边界，其中顶点权重编码局部直径。
• 通过树上权重的增长率，特别是每级节点的后代最大数量，重新表达Assouad维数。
• 在全有限子树 $ ilde{ au} $ 上使用鞅方法分析 $ s $-维Hausdorff内容 $ ilde{ ho}^s( ilde{ au}) $ 的行为。
• 在树上定义独立同分布的权重过程 $ ilde{ ho}(v) $，并使用矩生成函数分析期望值 $ m h(s) $。
• 证明 $ ilde{ ho}^s( ilde{ au}) $ 关于滤子 $ ilde{ ho}_{ ilde{ au}} $ 构成鞅，从而导出几乎必然收敛。
• 证明Hausdorff维数几乎必然为 $ s_m $，其中 $ s_m $ 是方程 $ m h(s_m) = 1 $ 的解，且 $ s_m $-维Hausdorff测度为随机概率测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个超度量Cantor集可双李普希茨嵌入有限维欧几里得空间？
• RQ2 超度量Cantor集的Assouad维数与其关联的Michon树结构有何关系？
• RQ3 能否通过基于树的形式化方法判断平铺空间或子移位的双李普希茨可嵌入性？
• RQ4 是否存在具有有限Hausdorff维数但不可双李普希茨嵌入任何 $ bR^n $ 的超度量Cantor集？
• RQ5 具有独立同分布随机权重的Galton–Watson树边界的几乎必然Hausdorff维数是多少？

主要发现

• 一个超度量Cantor集可双李普希茨嵌入 $ bR^n $ 当且仅当其Assouad维数为有限，且这等价于Michon树中每级节点后代数量存在有限上界。
• Assouad维数为有限当且仅当临界指数 $ s_m $ 满足 $ m h(s_m) = 1 $，其中 $ m $ 为子节点的期望数量，$ h(s) $ 为权重分布的矩生成函数。
• 线性重复子移位是 $ f $-可嵌入的，因为其关联的平铺空间的Assouad维数严格小于 $ d+1 $，其中 $ d $ 为平铺维数。
• Sturmian子移位也是 $ f $-可嵌入的，因为其关联的平铺空间具有有限的Assouad维数。
• 具有独立同分布随机权重的Galton–Watson树的边界几乎必然具有Hausdorff维数 $ s_m $，其中 $ s_m $ 是方程 $ m h(s_m) = 1 $ 的解。
• 边界上的 $ s_m $-维Hausdorff测度为随机概率测度，几乎必然为正且有限，且是有限子树上 $ s $-内容的几乎必然极限。