[论文解读] Bi-modal Gödel logic over [0,1]-valued Kripke frames

Xavier Caicedo, Ricardo Óscar Rodríguez|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2011

Advanced Algebra and Logic参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文通过引入一个希尔伯特风格的公理化系统 $Γ_{◂\Diamond}$，建立了在 [0,1]-值 Kripke 框架上的双模态哥德尔逻辑的强完备性，该系统在 Fischer-Servi 的直觉主义模态逻辑 IK 的基础上扩展了预线性公理。关键贡献是通过标准哥德尔-Kripke 模型，对可数双模态哥德尔代数给出了一个表示定理，证明了每个此类代数都可以嵌入到某个框架 $\mathcal{F}$ 的复合代数 $[0,1]^\mathcal{F}$ 中。结果通过将框架属性限制为其 [0,1]-值对应形式，推广到了双模态 $T$、$S4$ 和 $S5$ 的类比。

ABSTRACT

We consider the Gödel bi-modal logic determined by fuzzy Kripke models where both the propositions and the accessibility relation are infinitely valued over the standard Gödel algebra [0,1] and prove strong completeness of Fischer Servi intuitionistic modal logic IK plus the prelinearity axiom with respect to this semantics. We axiomatize also the bi-modal analogues of $T,$ $S4,$ and $S5$ obtained by restricting to models over frames satisfying the [0,1]-valued versions of the structural properties which characterize these logics. As application of the completeness theorems we obtain a representation theorem for bi-modal Gödel algebras.

研究动机与目标

• 为 [0,1]-值 Kripke 框架上的完整双模态哥德尔逻辑提供一个强完备的公理化系统，其中命题和可达性关系均为无限值。
• 通过将 Fischer-Servi 的连接公理加入 $\mathcal{G}_{\square}$ 和 $\mathcal{G}_{\Diamond}$ 的并集，将单模态片段的完备性结果扩展到完整的双模态设定。
• 通过施加其结构框架属性（如自反性、传递性等）的 [0,1]-值版本，公理化经典模态逻辑 $T$、$S4$ 和 $S5$ 的双模态类比。
• 通过标准哥德尔-Kripke 模型建立可数双模态哥德尔代数的表示定理，并证明其可嵌入到复合代数 $[0,1]^\mathcal{F}$ 中。

提出的方法

• 使用包含命题变量、连接词 $\vee, \wedge, \rightarrow, \bot$ 和模态算子 $\square, \Diamond$ 的语言形式化双模态哥德尔逻辑，其真值取值于标准哥德尔代数 $[0,1]$。
• 将哥德尔-Kripke 模型定义为结构 $\mathcal{F} = (W, S, e)$，其中 $W$ 是世界集合，$S: W \times W \to [0,1]$ 是可达性关系，$e: W \times \text{Var} \to [0,1]$ 是赋值。
• 将系统 $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$ 构造为 $\mathcal{G}_{\square}$ 和 $\mathcal{G}_{\Diamond}$ 的并集，并通过 Fischer-Servi 的连接公理扩展：$\Diamond(\varphi\to\psi)\to(\Box\varphi\to\Diamond\psi)$ 和 $(\Diamond\varphi\to\Box\psi)\to\Box(\varphi\to\psi)$。
• 通过构造标准模型，利用正规理论 $T$ 和紧致性，构建一个模型 $M_T$，使得 $T \vdash \varphi$ 当且仅当 $M_T \models \varphi$，从而证明可靠性和完备性。
• 通过将每个可数双模态哥德尔代数 $A$ 关联到一个哥德尔框架 $\mathcal{F}_A$，建立表示定理，使得 $A$ 嵌入到 $[0,1]^{\mathcal{F}_A}$ 中，且赋值在嵌入下保持不变。
• 通过公式复杂度的归纳法，验证代数结构 $I^\mathcal{F}$ 和 $K^\mathcal{F}$ 满足所需的恒等式，并证明模型中的真值与代数求值一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 [0,1]-值 Kripke 框架上的完整双模态哥德尔逻辑提供一个强完备的公理化？
• RQ2 Fischer-Servi 的直觉主义模态逻辑 IK 扩展预线性公理后，是否等价于 [0,1]-值 Kripke 框架上的双模态哥德尔逻辑？
• RQ3 能否通过将框架属性限制为其 [0,1]-值版本，公理化 $T$、$S4$ 和 $S5$ 的双模态类比？
• RQ4 每个可数双模态哥德尔代数是否都能通过一个哥德尔-Kripke 模型和嵌入到复合代数 $[0,1]^\mathcal{F}$ 中实现表示？
• RQ5 能否将正规理论的标准模型构造方法调整以在 [0,1]-值设定下保持有效性？

主要发现

• 通过在 $\mathcal{G}_{\square} \cup \mathcal{G}_{\Diamond}$ 的基础上加入 Fischer-Servi 的连接公理和预线性公理 $(\varphi\to\psi)\vee(\psi\to\varphi)$，得到的系统 $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$ 在 [0,1]-值 Kripke 框架上是强完备的。
• 双模态哥德尔逻辑 $\mathcal{G}_{\square\Diamond}$ 在演绎意义上等价于 Fischer-Servi 的 $IK$ 逻辑扩展预线性公理，其 $S5$-类比等价于 Prior 的 $MIPC$ 扩展预线性公理。
• 对于任意可数正规理论 $T$，存在一个哥德尔-Kripke 模型 $M_T$，使得 $T \vdash \varphi$ 当且仅当 $M_T \models \varphi$，从而证明了强完备性。
• 每个可数双模态哥德尔代数 $A$ 都可以嵌入到某个框架 $\mathcal{F}_A$ 的复合代数 $[0,1]^{\mathcal{F}_A}$ 中，从而建立了表示定理。
• 该嵌入保持真值：对于任意赋值 $v$ 到 $A$，存在一个在 $\mathcal{F}_A$ 上的哥德尔-Kripke 模型，使得 $v(\varphi) = 1$ 当且仅当 $\varphi$ 在该模型中有效。
• 双模态哥德尔代数的种类由复合代数 $[0,1]^\mathcal{F}$ 生成，这通过将表示定理应用于可数秩的自由代数得以证明。