[论文解读] Bi-skew braces and Hopf Galois structures

Lindsay N. Childs|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 23

一句话总结

本文引入了双斜环——一种具有两种群运算的代数结构，其中每种运算均使该集合构成一个斜环。研究证明，此类结构与伽罗瓦扩张上两类霍普夫伽罗瓦结构一一对应，推广了来自幂零代数和半直积的结果。主要贡献在于刻画了源自幂零代数与半直积的双斜环，表明阶为 $p^3$ 的左斜环是双斜环当且仅当它们是幂零环。

ABSTRACT

We define a bi-skew brace to be a set $G$ with two group operations $\star$ and $\circ$ so that $(G, \circ, \star)$ is a skew brace with additive group $(G, \star)$ and also with additive group $(G, \circ)$. If $G$ is a skew brace, then $G$ corresponds to a Hopf Galois structure of type $(G, \star)$ on any Galois extension of fields with Galois group isomorphic to $(G, \circ)$. If $G$ is a bi-skew brace, then $G$ also corresponds to a Hopf Galois structure of type $(G, \circ)$ on a Galois extension of fields with Galois group isomorphic to $(G, \star)$. Many non-trivial examples exist. One source is radical rings $A$ with $A^3 = 0$, where one of the groups is abelian and the other need not be. The left braces of degree $p^3$ classified by Bachiller are bi-skew braces if and only they are radical rings. A different source of bi-skew braces is semidirect products of arbitrary finite groups, which yield many examples where both groups are non-abelian, and a skew brace proof of a result of Crespo, Rio and Vela that if $G = H times J$ is a semidirect product of finite groups, then a Galois extension of fields with Galois group $G$ has a Hopf Galois structure of type $H imes J$.

研究动机与目标

• 定义并研究双斜环，即一个集合配备两种群运算，使得每种运算均构成一个以该运算为加法群的斜环。
• 建立双斜环与伽罗瓦扩张上两类霍普夫伽罗瓦结构之间的对应关系。
• 对源自满足 $A^3 = 0$ 的幂零 $mathbb{F}_p$-代数与有限群半直积的双斜环进行分类。
• 确定阶为 $p^3$ 的左斜环成为双斜环的条件，证明其恰好在它们为幂零环时成立。

提出的方法

• 将双斜环定义为一个集合 $G$，配备两种群运算 $\star$ 与 $\circ$，使得 $(G, \circ, \star)$ 是一个斜环，其加法群为 $(G, \star)$，同时也是一个斜环，其加法群为 $(G, \circ)$。
• 利用左正则表示映射 $\lambda_\star$ 与 $\lambda_\circ$，通过条件 $\lambda_\circ(G) \subseteq \mathrm{Hol}(G, \star)$ 来刻画斜环。
• 从满足 $A^3 = 0$ 的 $mathbb{F}_p$-幂零代数构造双斜环，其中一种群运算为阿贝尔群，另一种可能非阿贝尔。
• 利用半直积 $G = H \rtimes J$ 构造双斜环，使得 $G$ 关于 $\star$ 和 $G$ 关于 $\circ$ 均为非阿贝尔群。
• 应用该理论证明：若 $G = H \rtimes J$，则具有群 $G$ 的伽罗瓦扩张可实现类型为 $H \times J$ 的霍普夫伽罗瓦结构，推广了 Crespo、Rio 与 Vela 的结果。
• 分析 Bachiller 对阶为 $p^3$ 的左斜环的分类，证明其为双斜环当且仅当其源自幂零代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下一个斜环是双斜环？哪些结构条件可确保这一性质？
• RQ2 满足 $A^3 = 0$ 的幂零代数如何生成双斜环？
• RQ3 半直积与双斜环之间存在何种关系，特别是当两个群均为非阿贝尔时？
• RQ4 在何种条件下阶为 $p^3$ 的左斜环是双斜环？
• RQ5 是否可通过单个双斜环在同一个伽罗瓦扩张上实现两类霍普夫伽罗瓦结构？

主要发现

• 阶为 $p^3$ 的左斜环是双斜环当且仅当其源自满足 $A^3 = 0$ 的 $mathbb{F}_p$-幂零代数。
• 由满足 $A^3 = 0$ 的幂零代数构造的双斜环不一定是通过半直积构造实现的，表明此类结构存在不同的来源。
• 对任意半直积 $G = H \rtimes J$，对 $(G, \circ, \star)$ 构成双斜环，其中 $(G, \star)$ 为半直积，$(G, \circ)$ 为直积 $H \times J$。
• 若 $G = H \rtimes J$ 且 $H$ 与 $J$ 均为阿贝尔群，则 $G$-伽罗瓦扩张可实现类型为 $H \times J$ 的阿贝尔霍普夫伽罗瓦结构。
• 对非阿贝尔群 $N$，群 $mathrm{Hol}(N) \cong N \rtimes \mathrm{Aut}(N)$ 可生成双斜环，其中加法群与圆群均为非阿贝尔群，如海森堡群 $M_{(p)}$ 的例子所示。
• 存在不源自半直积的双斜环，如一个6维 $mathbb{F}_p$-幂零代数，其加法群为初等阿贝尔群，但其乘法群无法分解为子群的积，其中 $\circ = +$。