[论文解读] Bialgebras, the classical Yang-Baxter equation and Manin triples for 3-Lie algebras

Chengming Bai, Li Guo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文引入了两种新型的3-Lie双代数——局部上循环双代数与对偶构造双代数——将李双代数理论推广至3-Lie代数。它建立了与3-Lie经典杨-Baxter方程、$\mathcal{O}$-算子以及3-预李代数的联系，表明3-Lie杨-Baxter方程的解可生成余边界局部上循环3-Lie双代数，而对偶构造双代数则通过马宁三元组生成具有中性符号的伪度量3-Lie代数。

ABSTRACT

This paper studies two types of 3-Lie bialgebras whose compatibility conditions between the multiplication and comultiplication are given by local cocycles and double constructions respectively, and are therefore called the local cocycle 3-Lie bialgebra and the double construction 3-Lie bialgebra. They can be regarded as suitable extensions of the well-known Lie bialgebra in the context of 3-Lie algebras, in two different directions. The local cocycle 3-Lie bialgebra is introduced to extend the connection between Lie bialgebras and the classical Yang-Baxter equation. Its relationship with a ternary variation of the classical Yang-Baxter equation, called the 3-Lie classical Yang-Baxter equation, a ternary $\mathcal{O}$-operator and a 3-pre-Lie algebra is established. In particular, it is shown that solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation give (coboundary) local cocycle 3-Lie bialgebras, whereas 3-pre-Lie algebras give rise to solutions of the 3-Lie classical Yang-Baxter equation. The double construction 3-Lie bialgebra is introduced to extend to the 3-Lie algebra context the connection between Lie bialgebras and double constructions of Lie algebras. Their related Manin triples give a natural construction of pseudo-metric 3-Lie algebras with neutral signature. Moreover, the double construction 3-Lie bialgebra can be regarded as a special class of the local cocycle 3-Lie bialgebra. Explicit examples of double construction 3-Lie bialgebras are provided.

研究动机与目标

• 通过引入两种不同的双代数结构——局部上循环与对偶构造3-Lie双代数——将李双代数理论推广至3-Lie代数。
• 建立3-Lie经典杨-Baxter方程的解与余边界局部上循环3-Lie双代数之间的联系。
• 将李双代数的对偶构造推广至3-Lie代数情形，通过马宁三元组构造具有中性符号的伪度量3-Lie代数。
• 阐明两种双代数类型之间的关系，表明对偶构造3-Lie双代数是局部上循环3-Lie双代数的特例。

提出的方法

• 通过自伴表示的张量表示中的1-上循环定义相容性条件，引入局部上循环3-Lie双代数。
• 定义3-Lie经典杨-Baxter方程（3-Lie CYBE），并证明其解可生成余边界局部上循环3-Lie双代数。
• 在3-Lie背景下引入$\mathcal{O}$-算子，并证明3-预李代数可生成3-Lie CYBE的解。
• 通过3-Lie代数的匹配对与马宁三元组构造对偶构造3-Lie双代数，确保代数与余代数结构之间的相容性。
• 利用余乘法的对偶定义对偶空间上的3-Lie代数结构，形成马宁三元组。
• 提供具体例子，包括在4维单3-Lie代数上构造的一个非平凡对偶构造3-Lie双代数，使用一个不满足3-Lie CYBE的对称$r$-矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过相容的双代数结构将李双代数理论推广至3-Lie代数？
• RQ2 3-Lie经典杨-Baxter方程在构造余边界局部上循环3-Lie双代数中起什么作用？
• RQ3 $\mathcal{O}$-算子与3-预李代数如何与3-Lie CYBE的解相关联？
• RQ4 是否可以构造对偶构造3-Lie双代数，使其马宁三元组生成具有中性符号的伪度量3-Lie代数？
• RQ5 非平凡对偶构造3-Lie双代数存在的条件是什么？为何某些3-Lie代数仅允许平凡（零余乘法）情形？

主要发现

• 3-Lie经典杨-Baxter方程的解可生成余边界局部上循环3-Lie双代数。
• 3-预李代数为构造3-Lie经典杨-Baxter方程的解提供了有效方法。
• 对偶构造3-Lie双代数是局部上循环3-Lie双代数的一个特例，其相容性条件通过1-上循环与反对称性表达。
• 与对偶构造3-Lie双代数相关的马宁三元组可生成具有中性符号的伪度量3-Lie代数。
• 在4维单复3-Lie代数上，存在一个非平凡的对偶构造3-Lie双代数，其使用的对称$r$-矩阵不满足3-Lie CYBE。
• 在若干3-Lie代数类中（如3维非平凡类、4维类(2)、(5)、(6)），仅存在平凡的对偶构造双代数（零余乘法），原因在于1-上循环与反对称性之间的不一致。