[论文解读] Biased random walks on a Galton-Watson tree with leaves

Gérard Ben Arous, Alexander Fribergh+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 21被引用 9

一句话总结

本文研究了在超临界Galton-Watson树上带有叶子的偏置随机游走，在次 ballistic（次扩散）区域中，由于在树分支中被囚禁，游走速度减慢。研究证明，将第 $ n $ 层的 hitting 时间按 $ n^{1/\beta^{\tau}} $ 归一化后，其分布是紧致的，并且在某些子序列上收敛于无限可分分布，其中指数 $ \gamma = \frac{\ln \beta_c}{\ln \beta} $ 控制了游走距离相对于根节点的亚扩散标度。

ABSTRACT

We consider a biased random walk $X_n$ on a Galton-Watson tree with leaves in the sub-ballistic regime. We prove that there exists an explicit constant $γ= γ(β) \in (0,1)$, depending on the bias $β$, such that $X_n$ is of order $n^γ$. Denoting $Δ_n$ the hitting time of level $n$, we prove that $Δ_n/n^{1/γ}$ is tight. Moreover we show that $Δ_n/n^{1/γ}$ does not converge in law (at least for large values of $β$). We prove that along the sequences $n_λ(k)=\lfloor λβ^{γk} floor$, $Δ_n/n^{1/γ}$ converges to certain infinitely divisible laws. Key tools for the proof are the classical Harris decomposition for Galton-Watson trees, a new variant of regeneration times and the careful analysis of triangular arrays of i.i.d. heavy-tailed random variables.

研究动机与目标

• 理解带有叶子的Galton-Watson树上偏置随机游走的次扩散行为。
• 确定在次扩散区域中，第 $ n $ 层 hitting 时间 $ \Delta_n $ 的正确标度。
• 分析 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 的分布收敛性，表明其不依分布收敛，但沿子序列收敛。
• 将极限分布表征为具有显式Lévy谱测度的无限可分分布。
• 建立游走距离 $ |X_n| $ 的紧致性与几乎必然增长速率。

提出的方法

• 使用Harris分解分析在非灭绝条件下Galton-Watson树的结构。
• 引入再生时间的新变体，以分解游走路径并控制囚禁行为。
• 分析i.i.d.重尾随机变量的三角阵列，以建模在子树中停留的时间。
• 应用电网络理论，其中导纳 $ c(x,\overleftarrow{x}) = \beta^{|x|-1} $，将偏置游走描述为可逆马尔可夫链。
• 使用Lévy谱表示法，表征 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 沿子序列的极限无限可分分布。
• 利用Lévy测度总质量的矩与尾部估计，证明极限分布的绝对连续性及其矩性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带有叶子的Galton-Watson树上偏置随机游走的次扩散区域中，第 $ n $ 层 hitting 时间 $ \Delta_n $ 的正确标度是什么？
• RQ2 当 $ n \to \infty $ 时，归一化后的 hitting 时间 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 是否依分布收敛？若不收敛，沿哪些子序列收敛？
• RQ3 在子序列 $ n_\lambda(k) = \lfloor \lambda \beta^{\gamma k} \rfloor $ 上，$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 的极限分布的精确形式是什么？
• RQ4 极限分布如何与无限可分分布相关联？其Lévy谱测度是什么？
• RQ5 $ |X_n| $ 的几乎必然增长速率是什么？它与指数 $ \gamma $ 有何关系？

主要发现

• 在平均测度 $ \mathbb{P} $ 下，$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 的分布是紧致的，其中 $ \gamma = \frac{\ln \beta_c}{\ln \beta} $，且 $ \beta_c = 1 / f'(q) $。
• 在 $ \mathbb{P} $ 下，$ |X_n| / n^\gamma $ 的分布也是紧致的，证实了亚扩散标度。
• 几乎必然地，$ \lim_{n \to \infty} \frac{\ln |X_n|}{\ln n} = \gamma $，确立了游走距离相对于根节点的精确几乎必然增长速率。
• 当 $ \beta $ 较大时，序列 $ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 不依分布收敛，表明存在非平稳的亚扩散行为。
• 在子序列 $ n_\lambda(k) = \lfloor \lambda f'(q)^{-k} \rfloor $ 上，$ \Delta_n / n^{1/\gamma} $ 依分布收敛于一个无限可分分布 $ \mu_\lambda $，其Lévy表示涉及谱测度 $ \mathcal{L}_\lambda $。
• 极限分布 $ \mu_\lambda $ 是绝对连续的，其密度在无穷远处的行为类似于 $ u^\gamma $，且由于Lévy测度的可积性，其矩是有限的。