[论文解读] Biased random walks on random graphs

Gérard Ben Arous, Alexander Fribergh|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 53被引用 24

一句话总结

本文研究了在随机图（包括Galton-Watson树和超临界渗流簇）上的有偏随机游走，聚焦于渐近速度、波动行为以及衰老现象。研究结果表明，在亚线性 regime 下，游走者在陷阱中停留的时间收敛到一个 $\alpha$-稳定子调和过程，从而导致由广义 arcsine 分布表征的衰老现象，其缩放极限由稳定分布和子调和过程控制。

ABSTRACT

These notes cover one of the topics programmed for the St Petersburg School in Probability and Statistical Physics of June 2012. The aim is to review recent mathematical developments in the field of random walks in random environment. Our main focus will be on directionally transient and reversible random walks on different types of underlying graph structures, such as $\mathbb{Z}$, trees and $\mathbb{Z}^d$ for $d\geq 2$.

研究动机与目标

• 理解在带有叶子的超临界 Galton-Watson 树上，有偏随机游走的渐近速度与波动行为。
• 研究由于强陷阱效应而引发的有偏随机游走中衰老现象的出现机制。
• 建立游走在陷阱中停留时间的缩放极限，证明其收敛到 $\alpha$-稳定子调和过程。
• 探讨随机环境中陷阱模型、子调和过程与极值过程之间的联系。
• 解决在各种随机图结构中关于极限速度与缩放极限的开放问题。

提出的方法

• 在 Galton-Watson 树上使用 $\beta$-有偏随机游走模型，其中转移概率倾向于远离根节点，偏置参数为 $\beta$。
• 应用 Harris 分解法分析 Galton-Watson 树的结构，将树分解为骨干与分支部分。
• 采用 Lévy 运动理论与 Laplace 指数技术，表征 $\alpha$-稳定子调和过程为游走在陷阱中停留时间的极限过程。
• 利用 Einstein 关系，将渐近速度与有偏游走设定下 Lyapunov 指数的导数联系起来。
• 应用稳定分布的吸引域理论，分析游走的重缩放可加泛函的收敛性。
• 使用 Skorohod 拓扑研究重缩放过程的弱收敛性，其极限为 $\alpha$-稳定 Lévy 过程，尤其在 $\alpha<1$ 情况下为子调和过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超临界 Galton-Watson 树上，有偏随机游走的渐近速度如何依赖于偏置参数 $\beta$ 与后代分布？
• RQ2 在带有叶子的 Galton-Watson 树上，有偏游走的波动行为，特别是在亚线性 regime 下，其本质特征是什么？
• RQ3 陷阱效应如何导致有偏随机游走的衰老现象？其与广义 arcsine 分布之间有何关联？
• RQ4 当游走被重缩放时，其在陷阱中停留时间的极限行为是什么？其与 $\alpha$-稳定子调和过程有何关系？
• RQ5 能否刻画在超临界渗流簇上，有偏游走的极限速度？其相变是否具有尖锐性？

主要发现

• 当 $\beta > \beta_0$ 时，无限 Galton-Watson 树（带叶子）上的有偏随机游走是瞬时的，且以几乎必然的正渐近速度 $v(\beta)$ 行走。
• 在亚线性 regime（$\alpha < 1$）下，重缩放后在陷阱中停留的时间弱收敛到一个 $\alpha$-稳定子调和过程，从而引发衰老效应。
• 游走在时间区间 $[an^{1/\alpha}, bn^{1/\alpha}]$ 内始终停留在同一陷阱中的概率，收敛到广义 arcsine 分布 $P[\text{ASL}_\alpha \in [0, a/b]]$。
• 重缩放游走轨迹的极限过程在 Skorohod 拓扑下收敛到一个 $\alpha$-稳定 Lévy 过程，其子调和结构源于陷阱停留时间的重尾分布。
• 在带叶子的 Galton-Watson 树上，当 $\beta > \beta_0$ 时，渐近速度严格为正，且其速度非平凡地依赖于后代分布。
• 在超临界渗流簇上，有偏游走的速度在临界偏置处表现出相变，且相变是尖锐的，其与陷阱模型的联系可通过在大簇中停留的时间体现。