[论文解读] Bicartesian Coherence

Kosta Došen, Zoran Petrić|ArXiv.org|Jun 7, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 10

一句话总结

本文通过构造一个从具有二元积与和的自由范畴到有限序数上关系范畴的忠实函子，建立了仅含二元积与和的双卡特西安范畴的相干性。关键结果是：通过该函子可判定箭头相等性，且此类范畴为极大——任何非预序的扩展都会使涉及积与和的所有等式坍缩为自由范畴中已有的等式。

ABSTRACT

Coherence is demonstrated for categories with binary products and sums, but without the terminal and the initial object, and without distribution. This coherence amounts to the existence of a faithful functor from a free category with binary products and sums to the category of relations on finite ordinals. This result is obtained with the help of proof-theoretic normalizing techniques. When the terminal object is present, coherence may still be proved if of binary sums we keep just their bifunctorial properties. It is found that with the simplest understanding of coherence this is the best one can hope for in bicartesian categories. The coherence for categories with binary products and sums provides an easy decision procedure for equality of arrows. It is also used to demonstrate that the categories in question are maximal, in the sense that in any such category that is not a preorder all the equations between arrows involving only binary products and sums are the same. This shows that the usual notion of equivalence of proofs in nondistributive conjunctive-disjunctive logic is optimally defined: further assumptions would make this notion collapse into triviality. (A proof of coherence for categories with binary products and sums simpler than that presented in this paper may be found in Section 9.4 of {\it Proof-Theoretical Coherence}, revised version of September 2007, http://www.mi.sanu.ac.yu/~kosta/coh.pdf.)

研究动机与目标

• 建立仅含二元积与和、无终对象或初对象、且无分配律的范畴的相干性。
• 通过将自由范畴映射到有限序数上的关系范畴，提供一种决策程序，用于判断此类范畴中箭头的相等性。
• 证明这些范畴的等式理论是极大的：任何非预序的扩展都会坍缩为与自由范畴中相同的等式理论。
• 通过表明进一步假设会导致理论退化，阐明非分配性合取-析取逻辑中标准证明等价性的最优性。

提出的方法

• 构造由二元积与和生成的自由范畴 $\mathcal{C}_{\times,+}$，不包含终对象或初对象。
• 使用证明论归约技术，定义从 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 到有限序数上关系范畴的函子 $G$。
• 在证明论设定中使用剪切消去，证明箭头项在 $G$ 下的像唯一且为单值。
• 通过证明 $f = g$ 在 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 中当且仅当 $G(f) = G(g)$ 在关系范畴中成立，建立 $G$ 的忠实性。
• 利用 $G$ 的忠实性，证明任何不为预序的、扩展了 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 的范畴，必须满足 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 中的所有等式。
• 分析添加如 $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ 或 $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$ 等等式的后果，表明这些等式会迫使范畴成为预序。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为仅含二元积与和、无终对象或初对象或分配律的范畴建立相干性？
• RQ2 是否存在一个从具有二元积与和的自由范畴到具体范畴的忠实函子，使得能够实现箭头相等性的决策程序？
• RQ3 具有二元积与和的范畴的等式理论的极大性是什么？任何非预序的扩展是否可能引入新等式？
• RQ4 为何非分配性合取-析取逻辑中的标准证明等价性定义是最优的？若加入更强的假设，会发生什么？

主要发现

• 存在一个从具有二元积与和的自由范畴 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 到有限序数上关系范畴的忠实函子 $G$。
• 通过 $G$ 的像，$\mathcal{C}_{\times,+}$ 中箭头的相等性是可判定的：$f = g$ 在 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 中当且仅当 $G(f) = G(g)$。
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ 是极大的：任何满足相同等式的非预序双卡特西安范畴，必须满足 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 中的所有等式。
• 若在 $\times,+$-范畴中成立 $k^1_{p,p} = k^2_{p,p}$ 或 $l^1_{p,p} = l^2_{p,p}$，则该范畴必为预序。
• 非分配性合取-析取逻辑中标准证明等价性的定义是最优的：加入更多等式会使等价关系坍缩为平凡。
• $\mathcal{C}_{\times,+}$ 的等式理论是保守的：任何在 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 语言中成立的等式，若在扩展范畴中成立，则必已在 $\mathcal{C}_{\times,+}$ 中成立。