[论文解读] Bicategorical homotopy pullbacks

Antonio M. Cegarra, B. A. Heredia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 23

一句话总结

本文通过建立一个双范畴同伦纤维积的双范畴同伦拉回构造，将Quillen定理B推广至双范畴，该构造模型化了由双范畴之间 lax 与 oplax函子构成的图诱导的分类空间的同伦纤维积。在适当条件下，证明了该双范畴同伦拉回的分类空间与拓扑同伦纤维积同伦等价，推广了高阶范畴理论与代数K-理论中的经典结果。

ABSTRACT

The homotopy theory of higher categorical structures has become a relevant part of the machinery of algebraic topology and algebraic K-theory, and this paper contains contributions to the study of the relationship between Bénabou's bicategories and the homotopy types of their classifying spaces. Mainly, we state and prove an extension of Quillen's Theorem B by showing, under reasonable necessary conditions, a bicategory-theoretical interpretation of the homotopy-fibre product of the continuous maps induced on classifying spaces by a diagram of bicategories $\mathcal{A} o\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{A}'$. Applications are given for the study of homotopy pullbacks of monoidal categories and of crossed modules.

研究动机与目标

• 将Quillen定理B推广至双范畴的设定，扩展其在范畴论到高阶范畴结构中的适用性。
• 为双范畴之间的 lax 与 oplax函子定义双范畴同伦拉回 $ F\downarrow F' $，以捕捉正确的同伦结构。
• 建立该双范畴拉回的分类空间与由其诱导的分类空间映射之间的同伦纤维积之间的同伦等价关系。
• 通过双范畴方法，为研究单幕范畴与交叉模中的同伦拉回提供一个框架。
• 通过证明双范畴语境下分类空间构造的自然性与同伦不变性，统一范畴与拓扑同伦构造。

提出的方法

• 将双范畴同伦拉回 $ F\downarrow F' $ 构造为一个双范畴，其 0-胞胞为三元组 $ (a, f, a') $，其中 $ f:Fa \to F'a' $ 是 $ \mathcal{B} $ 中的一个 1-胞胞，其 1-胞胞为三元组 $ (u, \beta, u') $，包含 1-胞胞与满足相干性条件的 2-胞胞 $ \beta $。
• 将 2-胞胞定义为满足与 2-胞胞 $ \beta $ 兼容条件的 2-胞胞对 $ (\alpha, \alpha') $，以确保结构构成一个定义良好的双范畴。
• 利用单纯范畴的神经复形与几何实现来建模分类空间 $ \mathrm{B}\mathcal{B} $，借助双单纯神经复形构造 $ \mathrm{N}\underline{\Delta}\mathcal{B} $。
• 利用 Bousfield-Kan 与 Thomason 关于同伦余极限的结果，建立 $ |\Delta\mathcal{B}| $、神经复形的对角线与 $ \mathrm{B}\mathcal{B} $ 之间的同伦等价链。
• 在类比于 Quillen 定理 B 的条件下，证明了典范映射 $ \mathrm{B}(F\downarrow F') \to \mathrm{B}\mathcal{A} \times^h_{\mathrm{B}\mathcal{B}} \mathrm{B}\mathcal{A}' $ 是同伦等价。
• 利用分类空间构造的自然性与同伦逆，证明 lax 或 oplax 变换在函子之间诱导出其分类空间映射之间的同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双范畴同伦拉回 $ F\downarrow F' $ 的分类空间与由其诱导的分类空间映射之间的拓扑同伦纤维积同伦等价？
• RQ2 Quillen 定理 B 如何从范畴推广至双范畴，特别是在函子为 lax 或 oplax 时？
• RQ3 在高阶范畴理论中，同伦拉回的正确双范畴类比 $ F\downarrow F' $ 是什么，其应如何构造？
• RQ4 函子之间的变换如何诱导其分类空间映射之间的同伦？该构造是否具有自然性？
• RQ5 单幕范畴与交叉模在多大程度上可作为该双范畴同伦拉回构造的特例？

主要发现

• 双范畴同伦拉回 $ F\downarrow F' $ 被定义于一个双范畴图中，其中包含一个 lax 函子 $ F: \mathcal{A} \to \mathcal{B} $ 与一个 oplax 函子 $ F': \mathcal{A}' \to \mathcal{B} $，推广了逗号范畴的构造。
• 当诱导的纤维间映射 $ \mathrm{B}(F\downarrow b_0) \to \mathrm{B}(F\downarrow b_1) $ 为同伦等价时，典范映射 $ \mathrm{B}(F\downarrow F') \to \mathrm{B}\mathcal{A} \times^h_{\mathrm{B}\mathcal{B}} \mathrm{B}\mathcal{A}' $ 是同伦等价，从而推广了 Quillen 定理 B。
• 分类空间构造 $ \mathrm{B} $ 保持同伦余极限，并通过自然同伦等价 $ \kappa: |\Delta\mathcal{B}| \to \mathrm{B}\mathcal{B} $ 与同伦等价兼容。
• lax 或 oplax 变换在函子 $ F, F': \mathcal{B} \to \mathcal{B}' $ 之间诱导出同伦 $ \mathrm{B}\alpha: \mathrm{B}F \Rightarrow \mathrm{B}F' $，确保分类空间函子的自然性。
• 该构造具有自然性，即所有涉及的映射，包括同伦等价，均在 lax 函子上自然，确保双范畴图中的一致性。
• 该结果适用于单幕范畴与交叉模，为通过分类空间研究其同伦拉回提供了双范畴框架。