[论文解读] Bicomplex Third-order Jacobsthal Quaternions

Gamaliel Cerda|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 3

一句话总结

本文引入了双复数三阶雅可比斯塔尔四元数，这是一种在双复数上通过三阶线性递推定义的新序列。文章推导了类似Binet的公式、生成函数、卡西尼恒等式与d’Ocagne恒等式，并提出一种基于四对角矩阵行列式的计算方法，用于计算该超复数序列的第n项，为该序列提供了新的计算途径。

ABSTRACT

The aim of this work is to consider the bicomplex third-order Jacobsthal quaternions and to present some properties involving this sequence, including the Binet-style formulae and the generating functions. Furthermore, Cassini's identity and d'Ocagne's identity for this type of bicomplex quaternions are given, and a different way to find the $n$-th term of this sequence is stated using the determinant of a four-diagonal matrix whose entries are bicomplex third-order quaternions.

研究动机与目标

• 在双复数代数中，将双复数三阶雅可比斯塔尔四元数定义并研究为三阶雅可比斯塔尔数的推广。
• 为该序列建立类似Binet的公式与生成函数。
• 证明该双复四元数序列的卡西尼恒等式与d’Ocagne恒等式。
• 提出一种使用四对角矩阵行列式计算第n项的替代方法，矩阵元素为双复四元数。

提出的方法

• 双复数三阶雅可比斯塔尔四元数通过递推关系定义：$\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \mathrm{BC}_{J,n-1}^{(3)} + \mathrm{BC}_{J,n-2}^{(3)} + 2\mathrm{BC}_{J,n-3}^{(3)}$，初始值为 $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)} = i + j + 2ij$，$\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)} = 1 + i + 2j + 5ij$，$\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)} = 1 + 2i + 5j + 9ij$。
• 利用特征方程 $x^3 - x^2 - x - 2 = 0$ 的根 $\omega_1, \omega_2$ 推导出Binet公式，将 $\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}$ 表示为 $\widehat{2} \cdot 2^n$、$\widehat{\omega_1} \cdot \omega_1^n$ 与 $\widehat{\omega_2} \cdot \omega_2^n$ 的线性组合。
• 基于递推关系与初始条件构造生成函数，提供该序列的形式幂级数表示。
• 通过Binet公式的代数运算及双复四元数的性质，证明卡西尼恒等式与d’Ocagne恒等式。
• 提出一种新颖的第n项计算方法，利用 $(n+1) \times (n+1)$ 四对角矩阵的行列式，其元素由初始项与递推系数导出。
• 该矩阵公式使用系数 $r=1$，$s=1$，$t=2$，并引入逆元与缩放项，以保持与递推关系的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双复数三阶雅可比斯塔尔四元数序列如何在双复数系统中被形式化定义并代数表征？
• RQ2 该序列第n项的闭式Binet型公式是什么？
• RQ3 该序列满足哪些生成函数与恒等式（如卡西尼恒等式、d’Ocagne恒等式）？
• RQ4 是否能通过特定结构矩阵的行列式计算第n项？若可，该矩阵的形式为何？
• RQ5 双复数的代数性质如何影响该四元数序列的行为与结构？

主要发现

• 双复数三阶雅可比斯塔尔四元数的Binet公式为 $\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)} = \frac{1}{7}\left(\widehat{2} \cdot 2^{n+1} - \frac{\widehat{\omega_1} \omega_1^n - \widehat{\omega_2} \omega_2^n}{\omega_1 - \omega_2}\right)$，其中 $\widehat{2}, \widehat{\omega_1}, \widehat{\omega_2}$ 是由特征方程根导出的双复四元数。
• 基于递推关系与初始条件，推导出该序列的生成函数，作为形式幂级数，支持序列的解析操作。
• 卡西尼恒等式与d’Ocagne恒等式在该序列中得到确立，将经典恒等式推广至双复四元数设定。
• 提出一种通过 $(n+1) \times (n+1)$ 四对角矩阵行列式计算第n项的新方法，矩阵元素涉及 $\mathrm{BC}_{J,0}^{(3)}$、$\mathrm{BC}_{J,1}^{(3)}$、$\mathrm{BC}_{J,2}^{(3)}$ 以及递推系数的缩放项。
• 证明了恒等式 $\left(\mathrm{BC}_{J,n}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+1}^{(3)}\right)^2 + \left(\mathrm{BC}_{J,n+2}^{(3)}\right)^2 = \frac{1}{7}\left(3\cdot\widehat{2}^2 \cdot 2^{2n+2} - \widehat{2} \cdot 2^{n+2} \cdot \mathrm{BC}_{U,n}^{(3)} + 2ij\right)$，将平方和与双复四元数的线性组合联系起来。
• 该序列满足 $V_n^{(3)} = V_{n+3}^{(3)}$ 且 $V_n^{(3)} = 2$ 若 $n \equiv 0 \pmod{3}$，$-3$ 若 $n \equiv 1 \pmod{3}$，$1$ 若 $n \equiv 2 \pmod{3}$，该性质在Binet公式中起关键作用。