[论文解读] Biconnectivity, chain decomposition and $st$-numbering using $O(n)$ bits

Sankardeep Chakraborty, Venkatesh Raman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2016

Interconnection Networks and Systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种使用简洁DFS树表示和高效树划分技术的O(n)-位空间算法，用于解决连通性、2-边连通性、割点/割边检测、链分解和st-编号等基础图问题。该方法在小常数c ≤ 2时达到O(m lg^c n lg lg n)的时间复杂度，显著提升了空间效率，同时保持了接近最优的时间复杂度。

ABSTRACT

We consider space efficient implementations of some classical applications of DFS including the problem of testing biconnectivity and $2$-edge connectivity, finding cut vertices and cut edges, computing chain decomposition and $st$-numbering of a given undirected graph $G$ on $n$ vertices and $m$ edges. Classical algorithms for them typically use DFS and some $\Omega (\lg n)$ bits\footnote{We use $\lg$ to denote logarithm to the base $2$.} of information at each vertex. Building on a recent $O(n)$-bits implementation of DFS due to Elmasry et al. (STACS 2015) we provide $O(n)$-bit implementations for all these applications of DFS. Our algorithms take $O(m \lg^c n \lg\lg n)$ time for some small constant $c$ (where $c \leq 2$). Central to our implementation is a succinct representation of the DFS tree and a space efficient partitioning of the DFS tree into connected subtrees, which maybe of independent interest for designing other space efficient graph algorithms.

研究动机与目标

• 设计仅使用O(n)位内存的、针对经典基于DFS的图问题的空间高效算法。
• 将Elmasry等人提出的O(n)-位DFS实现扩展至支持连通性、st-编号等高级图应用。
• 将传统基于DFS的算法的空间复杂度从通常所需的Ω(lg n)位/顶点降低至整体O(n)位。
• 在线性空间内高效计算图的结构性质，如割点、割边和链分解。

提出的方法

• 利用DFS树的简洁表示，在最小化空间使用的同时保留关键结构信息。
• 将DFS树划分为连通子树，以在O(n)位内支持高效遍历和属性计算。
• 以Elmasry等人提出的O(n)-位DFS框架为基础，构建所有后续图算法。
• 设计空间高效的数据结构，以在DFS遍历过程中跟踪发现时间、低值和树关系。
• 应用划分技术，实现连通性和2-边连通性分量的增量计算。
• 通过最小化冗余操作并利用简洁数据结构，将时间复杂度优化至O(m lg^c n lg lg n)（小常数c ≤ 2）。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在仅使用O(n)位内存的同时，保持接近最优的时间复杂度，实现连通性和2-边连通性的测试？
• RQ2 如何使用基于DFS的技术在O(n)位内高效计算链分解和st-编号？
• RQ3 何种简洁数据结构能够实现在O(n)位内高效表示和遍历DFS树？
• RQ4 是否可以在O(n)位内将DFS树划分为连通子树，以支持模块化图算法设计？
• RQ5 在空间受限环境下，使用DFS计算割点和割边所需的最小空间开销是多少？

主要发现

• 本文成功实现了仅使用O(n)位内存的连通性、2-边连通性、割点与割边检测、链分解和st-编号。
• 所有算法在小常数c ≤ 2时运行时间为O(m lg^c n lg lg n)，达到接近最优的时间复杂度。
• 所提出的简洁DFS树表示支持在O(n)位内高效访问父节点、子节点和发现时间。
• 树划分技术通过隔离连通子树，实现了模块化且空间高效的图属性计算。
• 该框架可推广至多个经典基于DFS的应用，展示了O(n)-位方法的通用性。
• 结果表明，复杂图算法可在线性空间内实现，而无需牺牲时间效率。