[论文解读] Bide - Side Exponential and Moment Inequalities for Tails of Distributions of Polynomial Martingales

E. Ostrovsky|ArXiv.org|Jun 25, 2004

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文建立了关于多项式鞅尾部分布的非渐近指数不等式与矩不等式，推导出在单位球面上所有系数序列上的统一界。研究发现，多项式鞅 $ Q_d $ 的尾部衰减速率由广义矩指数 $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $ 所控制，其界以鞅差 $ \xi(i,m) $ 的边际尾部行为为基准，结果可推广至弱紧性与 U-统计量的应用。

ABSTRACT

In this paper non-asymptotic exponential estimates are derived for the tail distribution of polynomial martingale differences in terms unconditional tails distributions of summands. Applications are considered in the theory of polynomials on independent random variables, to the theory of U-statistics, multiply martingale series and in the theory of weak compactness measures on the Banach spaces. Partially supported by the Israel Ministry of Absorbtion Mathematics Subject Classification (2000): 47A45, 47B10, 60F10, 60G42.

研究动机与目标

• 推导关于 $ d $ 阶多项式鞅尾部分布的非渐近、系数一致的指数界。
• 以底层鞅差 $ \xi(i,m) $ 的边际尾部与矩行为来表达 $ Q_d $ 的尾部衰减。
• 建立在常数意义下匹配下界与上界的最优界。
• 通过度量熵条件将结果推广至随机场的弱紧性与 $ U $-统计量的应用。

提出的方法

• 定义 $ Q_d = \sum_{I \in I(d,n)} b(I) \xi(I) $，其中 $ \xi(I) = \prod_{m=1}^d \xi(i_m, m) $，$ \xi(i,m) $ 为零均值鞅差。
• 引入指数 $ M(d, \vec{q}) = \left(\frac{d}{2} + \sum_{m=1}^d \frac{1}{q(m)}\right)^{-1} $，其控制 $ Q_d $ 的尾部衰减速率。
• 利用空间 $ G(q) $ 与广义 $ G(q,r) $ 空间刻画 $ \xi(i,m) $ 的尾部与矩行为。
• 建立 $ S(\vec{q}, x) = \sup_{b \in B} \sup_{\{\xi(i,m)\}} T(Q_d, x) $ 的统一界，其中 $ T(\cdot, x) $ 为对称尾部概率。
• 应用度量熵与主要测度技术，推导随机场 $ \tau(t) $ 与 $ \zeta(t) $ 几乎必然一致收敛的条件。
• 利用乘积差的恒等式，将 $ \zeta(t_1) - \zeta(t_2) $ 用 $ \xi(i,m,t) $ 的差异进行有界，从而可应用主不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在已知其分量边际尾部行为的前提下，齐次多项式鞅 $ Q_d $ 的尖锐非渐近尾部衰减速率为何？
• RQ2 在仅知 $ \xi(i,m) $ 的边际尾部与矩条件时，是否能对所有系数序列 $ b \in B(d,n) $ 统一有界 $ Q_d $ 的尾部行为？
• RQ3 结果如何推广至具有参数依赖系数或随机场的随机场 $ \tau(t) $ 与 $ \zeta(t) $？
• RQ4 在参数空间 $ V $ 的何种度量熵条件下，随机场 $ \zeta(t) $ 能一致收敛并呈现高斯型尾部衰减？

主要发现

• 若 $ \sup_i T(\xi(i,m), x) \leq \exp\left(-(x/K(m))^{q(m)}\right) $，则 $ Q_d $ 的尾部满足 $ \exp\left(-\left[x/(C_1 K)\right]^M\right) \leq S(\vec{q}, x) \leq \exp\left(-\left[x/(C_2 K)\right]^M\right) $，其中 $ M = M(d, \vec{q}) $。
• 该界为尖锐界：不等式 (1.6) 无法改进，因下界与上界仅相差常数因子。
• 结果可推广至随机场 $ \tau(t) $，在 $ (V, r_1) $ 的度量熵条件下，有 $ T(\sup_t |\tau(t)|, x) \leq \exp\left(-C_{10} x^{M(d,q)}\right) $。
• 对于参数依赖的 $ \xi(i,m,t) $，在 $ (V, r_2) $ 的类似熵条件下，尾部衰减保持一致，其中 $ r_2(t_1,t_2) = \sum_m \sup_i ||\xi(i,m,t_1) - \xi(i,m,t_2)||_{q(m)} $。
• 在适当的有界性与熵条件之下，通过主要测度技术，$ \zeta_\alpha(t) $ 的分布族是弱紧的。