[论文解读] Bidimensionality, Map Graphs, and Grid Minors

Erik D. Demaine, MohammadTaghi Hajiaghayi|ArXiv.org|Feb 16, 2005

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文通过建立树宽与最大网格子图大小之间的多项式关系，将双维性理论扩展至地图图和幂图——这两类不排斥固定子图的图类。证明了树宽为 $ r^3 $ 的地图图包含 $ igOmega(r) \times \bigOmega(r) $ 的网格子图，且此类图类的幂图继承了类似的界，从而支持了关于一般图中树宽与网格子图大小之间多项式关系的细化猜想，并实现了更优的固定参数算法。

ABSTRACT

In this paper we extend the theory of bidimensionality to two families of graphs that do not exclude fixed minors: map graphs and power graphs. In both cases we prove a polynomial relation between the treewidth of a graph in the family and the size of the largest grid minor. These bounds improve the running times of a broad class of fixed-parameter algorithms. Our novel technique of using approximate max-min relations between treewidth and size of grid minors is powerful, and we show how it can also be used, e.g., to prove a linear relation between the treewidth of a bounded-genus graph and the treewidth of its dual.

研究动机与目标

• 将双维性理论从排除子图闭包的图族扩展至包含地图图和幂图的图类，这些图类可包含任意大的团。
• 在这些图类中建立树宽与最大网格子图大小之间的多项式关系，克服先前超指数界限的限制。
• 支持一个猜想：所有图均存在树宽与网格子图大小之间的多项式关系，并将已知界细化为：$ O(r^3) $ 树宽可保证存在 $ r \times r $ 网格子图。
• 提出一种新颖技术，利用树宽与网格子图大小之间的近似最大-最小关系，替代对基于扭结（tangle）关系的依赖。

提出的方法

• 引入并形式化地图图作为平面二分图的半平方的概念，通过径向图实现结构分析。
• 利用径向图构造，关联在 genus-$ g $ 曲面上的 2-细胞嵌入中图与其对偶图的树宽。
• 通过修改图中路径系统以避开由亏格引入的顶点和边，应用网格子图构造技术，保持网格结构。
• 建立树宽与网格子图大小之间的近似最大-最小关系，利用网格作为稳定且可分析的结构，用于边界推导。
• 证明：对于任意具有多项式树宽-网格子图关系的图类，其 $ k $ 次幂图仍保持多项式关系，且次数增加一个与 $ k $ 无关的常数。
• 使用归纳法与基于割点的分解技术，将 2-连通图的界推广至一般图。

实验结果

研究问题

• RQ1 双维性理论能否扩展至不排斥固定子图的图族，如地图图和幂图？
• RQ2 在地图图中，树宽与最大网格子图大小之间的最紧多项式关系为何？
• RQ3 双维图类的幂图是否继承多项式树宽-网格子图关系？若然，该关系的次数如何随幂 $ k $ 变化？
• RQ4 猜想：$ O(r^3) $ 树宽可保证图中存在 $ r \times r $ 网格子图，该猜想是否紧致？
• RQ5 能否以多项式因子关联嵌入在 genus-$ g $ 曲面上的图与其对偶图的树宽？最佳此类因子为何？

主要发现

• 树宽为 $ r^3 $ 的地图图包含一个 $ \bigOmega(r) \times \bigOmega(r) $ 的网格子图，建立了此前未知的多项式关系。
• 对于任意具有多项式树宽-网格子图关系的图类，其 $ k $ 次幂图仍保持多项式关系，且次数增加一个与 $ k $ 无关的常数。
• 在 genus-$ g $ 曲面上嵌入的图的树宽受其对偶图树宽的 $ O(g^4) $ 倍限制，通过优化网格构造可将该界改进为 $ O(g^2) $。
• 本文为罗伯逊-塞缪尔-托马斯猜想的细化版本提供了证据：任何树宽至少为 $ c r^3 $ 的图均包含一个 $ r \times r $ 网格子图，且该界为紧致。
• 通过利用新的树宽-网格子图界，本文改进了在地图图与幂图上双维问题的固定参数算法的运行时间。
• 证明了利用树宽与网格子图大小之间的近似最大-最小关系是一种强大且可推广的技术，甚至适用于有界亏格图中的对偶图关系。