[论文解读] Bidirectional Collision Detection and Faster Deterministic Isomorphism Testing

David J. Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文提出双向碰撞检测，这是一种新颖的确定性算法框架，可在群、环和图的同构性测试中实现平方根速度提升。通过高效地在正向和反向方向检测碰撞，该方法将一般群同构性的运行时间减少至 $ n^{(1/2)/log n + O(1)} $，显著优于长期存在的 $ n^{/log n + O(1)} $ 生成元枚举方法。

ABSTRACT

In this work, we introduce bidirectional collision detection --- a new algorithmic tool that applies to the collision problems that arise in many isomorphism problems. For the group isomorphism problem, we show that bidirectional collision detection yields a deterministic n^((1 / 2) log n + O(1)) time algorithm whereas previously the n^(log n + O(1)) generator-enumeration algorithm was the best result for several decades. For the hard special case of solvable groups, we combine bidirectional collision detection with methods from the author's previous work to obtain a deterministic square-root speedup over the best previous algorithm. We also show a deterministic square-root speedup over the best previous algorithm for testing isomorphism of rings. We can even apply bidirectional collision detection to the graph isomorphism problem to obtain a deterministic T^(1 / sqrt(2)) speedup over the best previous deterministic algorithm. Although the space requirements for our algorithms are greater than those for previous deterministic isomorphism tests, we show time-space tradeoffs that interpolate between the resource requirements of our algorithms and previous work.

研究动机与目标

• 为长期悬而未决的开放问题提供解决方案：在超越 $ n^{/log n + O(1)} $ 生成元枚举边界的前提下，改进一般群同构性问题的确定性算法。
• 通过统一的算法框架，将这些速度提升扩展至可解群、环以及图同构问题。
• 建立确定性时间-空间权衡关系，使其在新算法与生成元枚举方法的资源需求之间实现插值。
• 探索通过修改量子碰撞检测方法，为同构性问题建立量子时间-空间权衡关系。

提出的方法

• 提出双向碰撞检测作为一项新技术，以确定性方式加速同构性问题中的碰撞查找。
• 将该方法应用于群同构性问题，通过构建两组候选同构映射，并利用双向搜索检测其公共元素。
• 使用搜索空间的块分解方法推导时间-空间权衡关系，其中生成元枚举法与新算法分别作为两个极端点。
• 将双向碰撞检测与已有技术结合，用于可解群，实现四分之一根速度提升。
• 通过使用环的生成元枚举类比方法，将该框架适配至环同构性问题。
• 将该方法应用于图同构性问题，相较于此前最佳的确定性算法，实现 $ T^{1/ackslashsqrt{2}} $ 的速度提升。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用双向碰撞检测，为一般群同构性问题实现确定性的平方根速度提升？
• RQ2 当与现有技术结合时，该框架能否扩展至可解群同构性问题，实现四分之一根速度提升？
• RQ3 能否将双向碰撞检测应用于环同构性问题，以实现类似的平方根速度提升？
• RQ4 能否将该方法适配至图同构性问题，以获得非平凡的确定性速度提升？
• RQ5 使用该新框架，同构性问题的可实现时间-空间权衡关系是什么？

主要发现

• 双向碰撞检测为一般群同构性问题提供了确定性 $ n^{(1/2)/log n + O(1)} $ 时间算法，相较于 $ n^{/log n + O(1)} $ 的生成元枚举方法，实现了平方根速度提升。
• 对于可解群，将双向碰撞检测与已有技术结合后，得到确定性 $ n^{(1/4)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $ 时间算法，实现四分之一根速度提升。
• 在环同构性问题中，实现了确定性的平方根速度提升，其性能增益与群同构性问题中观察到的一致。
• 在图同构性问题中，该方法相较于此前最佳的确定性算法，实现了 $ T^{1/ackslashsqrt{2}} $ 的速度提升。
• 建立了时间-空间权衡关系：对于一般群，$ TS = n^{/log n + O(1)} $，且 $ S \leq n^{(1/2)/log n + O(1)} $；对于可解群，$ TS = n^{(1/2)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $。
• 推导出量子时间-空间权衡关系：对于一般群，$ T\sqrt{S} = n^{(1/2)/log n + O(1)} $；对于可解群，$ T\sqrt{S} = n^{(1/4)/log n + O(/log n/ackslashlogackslashlog n)} $。