[论文解读] Bidirectional Nested Weighted Automata

Krishnendu Chatterjee, Thomas A. Henzinger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文提出双向嵌套加权自动机（NWA），将仅支持正向处理的NWA扩展为允许从属自动机在输入的正向和反向两个方向上处理的模型。该框架能够表达传统单向NWA无法实现的定量性质——如平均能量水平和数据新鲜度——同时保持与原始NWA模型相同的可判定性与复杂度界限。

ABSTRACT

Nested weighted automata (NWA) present a robust and convenient automata-theoretic formalism for quantitative specifications. Previous works have considered NWA that processed input words only in the forward direction. It is natural to allow the automata to process input words backwards as well, for example, to measure the maximal or average time between a response and the preceding request. We therefore introduce and study bidirectional NWA that can process input words in both directions. First, we show that bidirectional NWA can express interesting quantitative properties that are not expressible by forward-only NWA. Second, for the fundamental decision problems of emptiness and universality, we establish decidability and complexity results for the new framework which match the best-known results for the special case of forward-only NWA. Thus, for NWA, the increased expressiveness of bidirectionality is achieved at no additional computational complexity. This is in stark contrast to the unweighted case, where bidirectional finite automata are no more expressive but exponentially more succinct than their forward-only counterparts.

研究动机与目标

• 将嵌套加权自动机（NWA）扩展为支持输入字串在正向与反向两个方向上的处理。
• 证明双向NWA能够表达自然的定量性质（如平均能量水平与数据一致性），而这些性质无法被仅正向处理的NWA表达。
• 建立双向NWA的基本问题（空性与普遍性）的可判定性与复杂度。
• 表明尽管表达能力增强，这些基本问题的计算复杂度仍保持在与仅正向NWA相同的复杂度类中。

提出的方法

• 提出双向NWA作为标准NWA的扩展，允许从属自动机在有限子串上以正向与反向两个方向运行。
• 定义一个主自动机，其在转移时调用从属自动机，每个从属自动机使用有限字串上的值函数（如求和、最小值、最大值）计算子串上的值。
• 引入k-配置上的后继关系R，以建模主自动机与从属自动机状态之间的一致性转移，涵盖正向与反向遍历。
• 通过k-配置图上的加权可达性来检查空性与普遍性条件，其复杂度取决于权重表示方式（一进制与二进制）以及k的大小（常数或一进制）。
• 当权重为二进制且数值较大时，应用戴克斯特拉算法实现多项式时间计算；当权重可放入对数空间时，采用对数空间可达性算法。
• 定义一个前驱关系R，以刻画有效状态转移，确保主自动机与从属自动机行为之间的一致性，包括终止与接受条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 双向NWA能否表达单向NWA无法表达的定量性质？
• RQ2 双向NWA的表达能力增强是否导致基本决策问题的计算复杂度显著上升？
• RQ3 对于主自动机采用极限平均值函数、从属自动机采用有限字串值函数的双向NWA，其空性与普遍性问题的复杂度如何？
• RQ4 复杂度如何依赖于权重的表示方式（一进制与二进制）以及自动机的宽度k？
• RQ5 该框架能否自然地用于指定并发系统中的平均能量水平与数据新鲜度等性质？

主要发现

• 通过使用具有求和值函数的反向行走从属自动机，双向NWA能够表达平均能量水平性质，而单向NWA无法实现。
• 数据一致性性质（DCP），即衡量读写操作相对于提交操作的平均新鲜度，仅能通过双向NWA表达，无法通过任何方向的单向NWA实现。
• 对于宽度k为常数且权重为一进制表示的（LimAvg; Sum）-自动机，其空性问题为NLogSpace-完全；当权重为二进制表示时，复杂度为PTime；当k以一进制给出时，复杂度为PSpace-完全。
• 空性与普遍性问题的复杂度保持在与仅正向NWA相同的复杂度类中，表明表达能力增强并未带来额外的计算开销。
• 该框架在表达能力上严格推广了仅正向与仅反向的NWA，且两者单向子类之间表达能力不可比较。
• 基于前驱关系R导出的k-配置上的后继关系，支持通过可达性分析实现高效验证，其计算复杂度取决于输入规模与权重编码方式，可在对数空间或多项式时间内完成。