[论文解读] Bifundamental Multiscalar Fixed Points in $d=3-ε$

Samarth Kapoor, Shiroman Prakash|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

该论文研究了在 $d=3-\epsilon$ 维度下具有 $O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 对称性的双fundamental 多标量固定点，推广了临界六次向量模型。通过大-$N$ 和大-$M/N$ 展开，该研究在 $d=3-\epsilon$ 下至 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 确定了唯一的红外固定点，并发现当 $\epsilon \sim O(M/N)$ 时，一个紫外固定点与之合并，暗示可能存在一个非超对称 CFT 作为爱因斯坦重力的全息对偶。

ABSTRACT

We study fixed-points of scalar fields that transform in the bifundamental representation of $O(N) imes O(M)$ in $3-ε$ dimensions, generalizing the classic tricritical sextic vector model. In the limit where $N$ is large but $M$ is finite, we determine the complete beta function to order $1/N$ for arbitrary $M$. We find a rich collection of large-$N$ fixed-points in $d=3$, as well as fixed-points in $d=3-ε$, that can be studied to all orders in the parameter $\hatε=Nε$. With the goal of defining a large-$N$ nonsupersymmetric conformal field theory dominated by a web of planar diagrams, we also study fixed-points in the ``bifundamental'' large-$N$ limit, in which $M$ and $N$ are both large, but the ratio $M/N$ is held fixed. We find a unique infrared fixed-point in $d=3-ε$, which we determine to order $ε^2$. When $M/N \ll 1$, we also find an ultraviolet fixed-point in $d=3$ and $d=3-ε$ that merges with the infrared fixed-point at $ε\sim O(M/N)$. We expect at least one of two candidate fixed-points in integer dimensions -- the infrared fixed-point in $d=2$ and the ultraviolet fixed-point in $d=3$ -- to survive for finite values of $M/N$.

研究动机与目标

• 研究在 $d=3-\epsilon$ 维度下 $O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 对称标量理论中是否存在共形固定点及其结构。
• 在大-$N$ 极限下（$M$ 有限）以及在双fundamental 大-$N$ 极限下（$M/N$ 保持有限）研究此类理论的相图。
• 通过受控的 $\epsilon$-展开分析固定点，检验非超对称 CFT 可能存在平面图主导结构并具有爱因斯坦重力全息对偶的猜想。
• 识别稳定性矩阵中具有复数或纯虚数特征值的非典型固定点，这可能预示极限环或奇异的 RG 流。

提出的方法

• 在大-$N$ 极限下（$M$ 有限）推导出至 $\mathcal{O}(1/N)$ 的完整 beta 函数，使用微扰 $\epsilon$-展开和大-$N$ 技巧。
• 通过将 beta 函数表示为势能的梯度（使用由两点半函数逆矩阵导出的度量 $T$），应用梯度流形式化方法。
• 在 $N \to \infty$ 和 $M/N$ 有限极限下对固定点进行系统分析，包括对固定点结构的 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$ 修正。
• 使用 $\hat{\epsilon} = N\epsilon$ 参数对理论进行重标度，并研究所有阶 $\hat{\epsilon}$ 下的固定点，实现受控展开。
• 分析稳定性矩阵 $\partial\beta_i / \partial g_j$，以检测具有复数或纯虚数特征值的非典型固定点，这可能表示极限环。
• 将分析扩展至非整数 $M$，以探测非幺正区域和奇异 RG 流的可能性，使用范畴论形式化 $O(M)$ 对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在大-$N$ 极限下且 $M/N$ 有限时，$O(N)\times O(M)/\mathbb{Z}_2$ 双fundamental 标量理论在 $d=3-\epsilon$ 下是否存在唯一的红外固定点？
• RQ2 当 $M/N \ll 1$ 时，是否在 $d=3$ 下出现紫外固定点，且其是否在 $\epsilon \sim O(M/N)$ 时与红外固定点合并？
• RQ3 稳定性矩阵中是否存在具有复数或纯虚数特征值的固定点，这可能表示极限环或非典型 RG 流？
• RQ4 该理论是否能支持一个具有平面图图系并具有爱因斯坦重力全息对偶的非超对称 CFT，如 $\epsilon$-展开和固定点结构所暗示的？

主要发现

• 在 $d=3-\epsilon$ 下，对于有限的 $M/N$，存在唯一的红外固定点，其确定至 $\mathcal{O}(\epsilon^2)$，耦合常数依赖于 $M/N$ 和 $\epsilon$。
• 当 $M/N \ll 1$ 时，在 $d=3$ 和 $d=3-\epsilon$ 下出现紫外固定点，且在 $\epsilon \sim O(M/N)$ 时与红外固定点合并。
• 在非整数 $M$ 的范围 $0 < M < 2$ 内，理论表现出稳定性矩阵中具有复特征值的固定点，表明存在类似螺旋的 RG 轨迹，但未发现纯虚特征值，因此未出现极限环。
• 在范围 $-3 < M < 0$ 内，未发现具有纯虚特征值的固定点；当 $M < -3$ 时，逆度量变为负定，排除了非典型固定点的可能性。
• 在整数维度（$d=3$ 和 $d=2$）下，固定点预计对有限的 $M/N$ 仍存在，且至少有一个红外（$d=2$）或紫外（$d=3$）固定点是物理的。
• 该理论在 $d=3$ 下支持丰富的大型-$N$ 固定点结构，包括具有奇异稳定性矩阵性质的非幺正固定点，尽管未实现极限环。