[论文解读] Bifurcation analysis of two-dimensional Rayleigh--B\'enard convection using deflation

Nicolas Boullé, Vassilios Dallas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 54被引用 16

一句话总结

本文提出了一种基于降幂法的二维瑞利-贝纳德对流的分歧分析，边界条件为无滑移，无需预先了解解的信息即可发现多个稳态解——包括不连通分支。该方法揭示了具有滞后效应的S形分歧曲线，并通过线性稳定性分析表征了解的演化模式。

ABSTRACT

We perform a bifurcation analysis of the steady states of Rayleigh--B\'enard convection with no-slip boundary conditions in two dimensions using a numerical method called deflated continuation. By combining this method with an initialisation strategy based on the eigenmodes of the conducting state, we are able to discover multiple solutions to this non-linear problem, including disconnected branches of the bifurcation diagram, without the need for any prior knowledge of the solutions. One of the disconnected branches we find contains an S-shaped curve with hysteresis, which is the origin of a flow pattern that may be related to the dynamics of flow reversals in the turbulent regime. Linear stability analysis is also performed to analyse the steady and unsteady regimes of the solutions in the parameter space and to characterise the type of instabilities.

研究动机与目标

• 研究具有无滑移边界的二维瑞利-贝纳德对流中所有稳态解的完整集合，包括不连通分支。
• 通过分析层流区的分歧结构，理解湍流对流中流动反转现象的起源。
• 开发并应用一种基于降幂法的数值方法，可在无需初始猜测或稳定性假设的前提下定位多个解。
• 对计算得到的解执行线性稳定性分析，以在参数空间中分类其动力学行为。
• 表征对称性（镜像对称与布辛内斯克对称）在塑造分歧结构中的作用。

提出的方法

• 采用降幂延拓法，通过在牛顿法中引入降幂算子，求解稳态的纳维-斯托克斯-布辛内斯克方程组以获得多个解。
• 使用导热状态的特征模态作为初始猜测，以提高收敛至非平凡解的效率。
• 应用弧长延拓法，随瑞利数（Ra）的变化追踪解分支。
• 通过Arnoldi迭代对计算得到的稳态解执行线性稳定性分析，以检测霍普夫分歧及非定常不稳定性。
• 利用问题的对称性（镜像对称与布辛内斯克对称）指导解的初始化并解释分歧结构。
• 采用FEniCS有限元软件进行空间离散化，使用MUMPS求解大规模线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有无滑移壁面的二维瑞利-贝纳德对流中，是否存在完整的稳态解集合，包括不连通分支？
• RQ2 降幂延拓法是否可在无需先验知识或依赖时间积分初始条件的情况下发现解？
• RQ3 湍流对流中流动反转动力学的起源是什么？其与层流区分歧结构有何关联？
• RQ4 系统的对称性如何影响分歧图及多解分支的存在性？
• RQ5 哪些解分支是线性稳定的或不稳定的？它们表现出何种类型的不稳定性（如霍普夫分歧）？

主要发现

• 降幂延拓法成功发现了多个稳态解，包括一条此前未知的具有滞后效应的S形不连通分支。
• S形分支中包含可能主导湍流区观测到的流动反转动力学的解。
• 线性稳定性分析表明，S形分支存在霍普夫分歧，表明将出现周期性非定常状态。
• 导热状态在Ra ≈ 1708处失去稳定性，与经典线性稳定性理论一致。
• 在Ra < 1708时，S形分支上的解不稳定，随后在狭窄区间内重新获得稳定性，最终通过霍普夫分歧再次失去稳定性。
• 通过基于特征模态的初始化，该方法成功定位了无需先验知识的解，即使对于不稳定或不连通分支亦然。