[论文解读] Bifurcation and multiplicity results for critical fractional p-Laplacian problems

Kanishka Perera, Marco Squassina+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 37被引用 7

一句话总结

本文建立了临界分数阶 $p$-次拉普拉斯问题的分岔与多重解结果，将 Brézis-Nirenberg 结果从半线性（$p=2$）情形推广至所有 $p \in (1,\infty)$ 的拟线性非局部情形。通过基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标与伪指标的新型抽象临界点定理，证明了当参数 $\lambda$ 趋近于第 $(k+1)$ 个特征值 $\lambda_{k+1}$ 时，存在 $m$ 组不同的非平凡解对，且这些解在范数意义下收敛于零，其条件涉及最佳 Sobolev 常数与区域测度，且为精确最优条件。

ABSTRACT

In this paper we investivate bifurcation results for a class of problem in a smooth bounded domain involving the fractional p-Laplacian operator and with a nonlinearity that reaches the critical growth with respect to the fractional Sobolev embedding.

研究动机与目标

• 将临界分数阶拉普拉斯算子（$p=2$）的古典 Brézis-Nirenberg 分岔与多重解结果，推广至所有 $p \in (1,\infty)$ 的拟线性非局部 $p$-拉普拉斯情形。
• 建立临界分数阶 $p$-拉普拉斯问题在非局部、非线性算子下多重非平凡弱解的存在性，该算子在 $p \neq 2$ 时缺乏线性特征子空间。
• 基于与 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标相关的伪指标，发展一种新的抽象临界点定理，适用于 $p \neq 2$ 时的非椭圆、非线性 $p$-拉普拉斯情形。
• 证明解从第 $(k+1)$ 个特征值 $\lambda_{k+1}$ 分岔产生，并在 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ 时以范数收敛于零，且在涉及最佳 Sobolev 常数与区域测度的精确条件下成立。

提出的方法

• 作者采用基于临界分数阶 $p$-拉普拉斯问题能量泛函 $I_\lambda$ 的变分框架，其定义在具有零迹的分数阶索伯列夫空间 $X_p^s(\Omega)$ 上。
• 证明了当 $c < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$ 时满足 $(\text{PS})_c$ 条件，确保了低于与最佳 Sobolev 嵌入常数相关的临界水平的 Palais-Smale 序列的紧性。
• 通过 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标与伪指标构造，发展了一种新的抽象临界点定理，以处理拟线性情形下缺乏线性子空间的问题。
• 证明依赖于构造对称紧致子集 $A_0 \subset \Psi^{\lambda_{k+m}}$，满足 $i(A_0) = k+m$，以及 $B_0 = \Psi_{\lambda_{k+1}}$，满足 $i(S_1 \setminus B_0) = k$，并满足抽象定理的几何条件。
• 在不同集合上估计泛函 $I_\lambda$：当 $r$ 较小时 $I_\lambda > 0$ 在 $B_0$ 上成立，当 $R$ 较大时 $I_\lambda \leq 0$ 在 $A$ 上成立，且 $\sup I_\lambda(X) < \frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$，从而通过抽象定理保证了 $m$ 个临界点的存在。
• 通过恒等式 $|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$ 证明了解收敛于零，从而推出 $\|u_j^\lambda\| \to 0$ 当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 临界分数阶拉普拉斯算子（$p=2$）的分岔与多重解结果能否推广至所有 $p \in (1,\infty)$ 的拟线性 $p$-拉普拉斯情形？
• RQ2 当 $p \neq 2$ 时，算子缺乏线性特征子空间，如何为分数阶 $p$-拉普拉斯建立临界点理论？
• RQ3 确保在 $\lambda_{k+1}$ 附近存在 $m$ 组不同非平凡解对的 $\lambda$ 的精确条件是什么？其与最佳 Sobolev 常数和区域测度有何关系？
• RQ4 当 $\lambda$ 趋近于 $\lambda_{k+1}$ 时，解的行为如何？其收敛于零能否被定量刻画？

主要发现

• 当 $\lambda_k < \lambda < \lambda_{k+1}$ 且 $\lambda > \lambda_{k+1} - \frac{S_{s,p}}{|\Omega|^{2s/N}}$ 时，问题存在 $m$ 组不同的非平凡弱解对 $\pm u_j^\lambda$，其中 $m$ 为 $\lambda_{k+1}$ 的重数。
• 解满足 $0 < I_\lambda(u_j^\lambda) \leq \frac{s}{N} |\Omega| (\lambda_{k+1} - \lambda)^{N/sp} \to 0$，当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ 时，表明能量收敛于零。
• $L^{p_s^*}$-范数满足 $|u_j^\lambda|_{p_s^*}^{p_s^*} = \frac{N}{s} I_\lambda(u_j^\lambda) \to 0$，意味着在 $L^{p_s^*}(\Omega)$ 中强收敛。
• $X_p^s(\Omega)$-范数满足 $\|u_j^\lambda\| \to 0$，当 $\lambda \nearrow \lambda_{k+1}$ 时，这是由于 $L^p$-范数的收敛性与能量有界性共同作用的结果。
• 临界水平 $\frac{s}{N} S_{s,p}^{N/sp}$ 对于 $(\text{PS})_c$ 条件是精确最优的，且抽象临界点定理恰好在此阈值以下应用。
• 本文构建了一种基于 $\mathbb{Z}_2$-上同调指标与伪指标的新抽象临界点定理，这对于 $p \neq 2$ 的非椭圆、非线性情形至关重要。