[论文解读] Bifurcation from semi-trivial standing waves and ground states for a system of nonlinear Schrödinger equations

Mathieu Colin, Masahito Ohta|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文研究了在离子等离子体中拉曼放大的双组分非线性薛定谔系统中，从半平凡驻波和基态出发的分岔现象。利用变分法与分岔理论，本文在 γ = 1 处建立了非平凡驻波的存在性及其轨道稳定性，稳定性取决于 κ：当 κ < 0 时稳定，当 κ > 0 时不稳定，而当 κ = 0 时呈现临界行为。

ABSTRACT

We consider a system of nonlinear Schrödinger equations related to the Raman amplification in a plasma. We study the orbital stability and instability of standing waves bifurcating from the semi-trivial standing wave of the system. The stability and instability of the semi-trivial standing wave at the bifurcation point are also studied. Moreover, we determine the set of the ground states completely.

研究动机与目标

• 分析双组分非线性薛定谔系统中，从半平凡解出发的非平凡驻波解的分岔结构。
• 确定从半平凡态分岔出的驻波的轨道稳定性与不稳定性，尤其关注临界参数值 γ = 1 的情形。
• 利用变分法与对称性分析，完全刻画该系统的基态集合。
• 研究参数 κ 在 γ = 1 时对稳定性的影响，特别是其符号依赖性。

提出的方法

• 应用Crandall-Rabinowitz局部分岔定理，识别出在非平凡解从半平凡驻波 (0, e^{2iωt}φ_ω) 分岔时，γ = 1 为分岔点。
• 利用变分刻画基态 φ_ω 为 H^1(ℝ^N)  \{0 } 中比值 ‖v‖_{H^1_ω}^2 / ‖v‖_{L^3}^2 的最小化器。
• 引入能量泛函 E(𝐮) 与电荷泛函 Q(𝐮)，在空间 X = H^1(ℝ^N, ℂ)^2 中定义基态的约束最小化问题。
• 引入群作用 G(θ) 与 J 以描述规范对称性与相位对称性，并利用其对解进行轨道等价分类。
• 应用 Hölder 不等式与 Gagliardo-Nirenberg 不等式，推导出解的 L^3 范数的必要条件，从而导出系统不等式 (5.5)。
• 利用恒等式 S_ω(𝐮) = d(ω) 将作用泛函与基态能量关联，推导出临界阈值 ℓ = 6d(ω)/‖φ_ω‖_{L^3}^3。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 γ = 1 时，从半平凡解 (0, e^{2iωt}φ_ω) 分岔出的驻波解具有怎样的结构？
• RQ2 当 γ = 1 时，参数 κ 的符号如何影响分岔解的轨道稳定性？
• RQ3 该系统的完整基态集合是什么？其变分刻画为何？
• RQ4 在何种 (κ, γ) 条件下，系统存在超越半平凡态的非平凡基态？
• RQ5 各分量的 L^3 范数如何与系统的稳定性及分岔结构相关联？

主要发现

• 当 γ < 1 时，半平凡驻波 (0, e^{2iωt}φ_ω) 是轨道稳定的；当 γ > 1 时，其稳定性与 κ 无关，均为不稳定。
• 在 γ = 1 时，半平凡解的稳定性取决于 κ：当 κ < 0 时稳定，当 κ > 0 时不稳定，而当 κ = 0 时呈现临界行为。
• 当 (κ, γ) ∈ 𝒦₁ 时，基态集合 ℒ_ω 由形如 (e^{iθ₁}α₊φ_ω(·+y₁), e^{iθ₂}β₋φ_ω(·+y₂)) 的解构成，其中 2θ₁ − θ₂ ∈ 2πℤ 且 y₁ = y₂。
• 当 (κ, γ) ∈ 𝒦₂ 时，唯一的基态为形如 (0, e^{iθ}φ_ω(·+y)) 的解，对应于半平凡态。
• 当 (κ, γ) ∈ 𝒦₃ 时，基态为半平凡态或来自 𝒦₁ 的分岔态，具体取决于参数区域。
• 基态集合被完全刻画：当 (κ, γ) ∈ 𝒦₁ 时，ℒ_ω = ℒ_ω¹；当 (κ, γ) ∈ 𝒦₂ 时，ℒ_ω = ℒ_ω⁰；当 (κ, γ) ∈ 𝒦₃ 时，ℒ_ω = ℒ_ω⁰ ∪ ℒ_ω¹。