[论文解读] Bifurcation in a multi-component system of nonlinear Schrödinger equations

Thomas Bartsch|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文研究了多组分非线性薛定谔方程系统中分岔现象，该系统用于建模耦合的玻色-爱因斯坦凝聚态或非线性光学系统。通过利用一种隐藏对称性来克服线性化后高维核的问题，证明了从完全锁定解分支出发，全局分岔出非锁定及部分锁定解，尤其当相互作用参数 $\beta$ 穿过临界值时，即使在 $n>1$ 为奇数时具有偶维核的情况下亦成立。

ABSTRACT

We consider the system -Δu_j + a(x)u_j = μ_j u_j^3 + \be\sum_{k e j}u_k^2u_j, u_j>0, \qquad j=1,...,n, on a possibly unbounded domain $\Om\subset\R^N$, $N\le3$, with Dirichlet boundary conditions. The system appears in nonlinear optics and in the analysis of mixtures of Bose-Einstein condensates. We consider the self-focussing (attractive self-interaction) case $μ_1,...,μ_n > 0$ and take $\be\in\R$ as bifurcation parameter. There exists a branch of positive solutions with $u_j/u_k$ being constant for all $j,k\in{1,...,n}$. The main results are concerned with the bifurcation of solutions from this branch. Using a hidden symmetry we are able to prove global bifurcation even when the linearization has even-dimensional kernel (which is always the case when $n>1$ is odd).

研究动机与目标

• 分析多组分非线性薛定谔方程系统中从完全锁定正解分支出发的分岔行为。
• 解决当 $n>1$ 为奇数时线性化后出现高维核的问题，该问题阻碍了标准的度理论分岔方法的应用。
• 利用新发现的隐藏对称性，建立部分锁定解的全局分岔——即在子集中 $u_i/u_j$ 为常数，但整体上不恒定。
• 将分岔理论从先前研究的 $n=2$ 情况推广至一般 $n \geq 2$，且自相互作用系数 $\mu_j > 0$ 不相等的情况。
• 证明分岔发生在 Morse 指数发生变化的特定值 $\beta_k$ 处，且当指数跳跃为奇数时，全局分支存在。

提出的方法

• 系统在域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N \leq 3$ 上研究，配备狄利克雷边界条件和势函数 $a(x)$，使用具有有限 $\|\cdot\|_E$-范数的 $G$-不变函数空间 $E$。
• 构建了一个完全锁定解的分支 $\mathcal{T}_w$，其中每个 $u_j = \alpha_j(\beta) w$，$w$ 为标量方程 $-\Delta w + a(x)w = w^3$ 的固定正解。
• 分岔参数 $\beta$ 控制组间耦合；函数 $g(\beta) = 1 + \beta \sum_{k=1}^n \frac{1}{\mu_k - \beta}$ 决定锁定分支的存在性。
• 识别出一种隐藏对称性，解释了分岔点处核的高重数，并使得即使在偶维核情况下仍可使用度理论方法。
• 计算 $\mathcal{P}$-锁定解的 Morse 指数 $m^\mathcal{P}(\beta)$，其在 $\beta = \beta_k$ 处的变化意味着分岔。
• 当指数跳跃 $(|\mathcal{P}|-1)n_k$ 为奇数时，利用核的结构与对称性，避免依赖等变度理论，建立全局分岔。

实验结果

研究问题

• RQ1 当线性化核为偶维时（$n>1$ 为奇数时的常见问题），是否可在多组分非线性薛定谔系统中建立非锁定解的全局分岔？
• RQ2 隐藏对称性在解释分岔点处高维核并促进分岔分析中起到什么作用？
• RQ3 部分锁定解——即组内成分锁定但整体不锁定——如何从完全锁定解分支中出现？
• RQ4 Morse 指数在 $\beta_k$ 处何时发生变化，这又对全局分岔分支的存在性意味着什么？
• RQ5 能否将分岔理论从 $n=2$ 情况推广至一般 $n \geq 2$，且自相互作用系数 $\mu_j$ 不相等？

主要发现

• 当指数跳跃 $(|\mathcal{P}|-1)n_k$ 为奇数时，$\mathcal{P}$-锁定解在 $\beta_k$ 处发生全局分岔，其中 $n_k = \dim V_k$，$V_k$ 为线性化算子第 $k$ 个特征值对应的特征空间。
• 对每个子集 $A \subset \{1,\dots,n\}$，$A \neq \emptyset$，$A \neq \{1,\dots,n\}$，且若 $n_k$ 为奇数，则存在一个从 $\mathcal{T}_w$ 在 $\beta_k$ 处分岔出的 $\mathcal{P}_A$-锁定解的全局分支 $\mathcal{S}^A_k$，且至少存在 $2^{n-1} - 1$ 个此类不同的全局分支。
• 分岔点 $\beta_k$ 是 $g(\beta) = 0$ 的根，其中 $g(\beta) = 1 + \beta \sum_{k=1}^n \frac{1}{\mu_k - \beta}$，且位于 $(-\infty, \mu_1)$ 内，$\overline{\beta} < 0$ 为唯一零点。
• 隐藏对称性解释了核的重数，并使得即使在标准度理论方法因偶维核而失效时，仍可实现全局分岔。
• 当 $n_k = 1$ 时，Crandall-Rabinowitz 定理适用，确保分岔分支在分岔点附近为 $C^1$-光滑曲线。
• 结果适用于径向对称域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$，$N=2,3$，以及 $\Omega = \mathbb{R}^N$ 且满足当 $|x| \to \infty$ 时 $a(x) \to \infty$ 的情形，前提是满足紧嵌入 $E \hookrightarrow L^4(\Omega)$。