[论文解读] Bifurcation of soliton families from linear modes in non-PT-symmetric complex potentials

Sean Nixon, Jianke Yang|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2015

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文通过解析方法证明，在形式为 $ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $ 的非 PT 对称复势中，连续的孤子族可从线性模式分岔产生，其中 $ g(x) $ 为实函数。通过识别定态孤子方程中的守恒量，作者将复振幅方程约化为实的二阶方程，从而实现对传播常数 $ \mu $ 连续范围内的孤子族的微扰构造，即使在无 PT 对称性的情况下亦可实现。

ABSTRACT

Continuous families of solitons in generalized nonlinear Schödinger equations with non-PT-symmetric complex potentials are studied analytically. Under a weak assumption, it is shown that stationary equations for solitons admit a constant of motion if and only if the complex potential is of a special form $g^2(x)+ig'(x)$, where $g(x)$ is an arbitrary real function. Using this constant of motion, the second-order complex soliton equation is reduced to a new second-order real equation for the amplitude of the soliton. From this real soliton equation, a novel perturbation technique is employed to show that continuous families of solitons always bifurcate out from linear discrete modes in these non-PT-symmetric complex potentials. All analytical results are corroborated by numerical examples.

研究动机与目标

• 确定在何种条件下，非 PT 对称复势中可存在连续孤子族，以反驳一般认为此类系统仅支持孤立孤子的预期。
• 识别出在定态孤子方程中存在守恒量的特定复势形式，从而实现连续孤子族的存在。
• 发展一种微扰方法，用于在这些特殊非 PT 对称势中，从线性模式分岔构造孤子族。
• 将分析扩展至非立方非线性项，表明孤子族的存在性在不同非线性项下具有鲁棒性。

提出的方法

• 在从无势情况连续形变的弱假设下，识别定态复孤子方程中的守恒量。
• 证明唯一能容纳此类守恒量的复势仅为 $ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $ 形式，其中 $ g(x) $ 为实函数。
• 利用守恒量将二阶复孤子方程约化为孤子振幅平方的新二阶实方程。
• 对实振幅方程应用一种新颖的微扰技术，以构造从线性本征模分岔出的连续孤子族。
• 通过数值例子验证分析结果，包括立方非线性和饱和非线性。
• 确认守恒量的存在性与孤子族的存在性独立于广义类中非线性项的具体形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些类型的非 PT 对称复势允许连续孤子族存在？
• RQ2 在非 PT 对称系统中，如何解析地解释并计算孤子族从线性模式的分岔？
• RQ3 孤子族在立方非线性以外的情形下是否仍然存在？
• RQ4 孤子方程中守恒量的存在是否唯一对应于 $ g^2(x) + ig'(x) $ 形式的势？

主要发现

• 唯一能在定态孤子方程中容纳守恒量的非 PT 对称复势为 $ V(x) = g^2(x) + ig'(x) $ 形式，其中 $ g(x) $ 为实函数。
• 对于此类势，即使在缺乏 PT 对称性的情况下，连续孤子族也始终从离散线性模分岔产生。
• 用于构造孤子族的微扰方法与标准方法存在本质差异，原因在于线性化实振幅方程中具有不同的核结构。
• 孤子族的分岔在广泛类别的非线性项中均具有鲁棒性，包括饱和非线性，这一点通过数值例子得到证实。
• 从 $ \mu_0 \approx 0.3708 $ 的线性模分岔出的孤子功率曲线显示出连续变化，证实了连续族的存在。
• 结果表明，某些非 PT 对称耗散系统由于守恒量的存在，可表现出类似保守系统的特性，如连续孤子族。