[论文解读] Bifurcation values and monodromy of mixed polynomials

Ying Chen, Mihai Tibăr|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2010

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 19被引用 13

一句话总结

该论文通过为混合多项式引入无穷远处的ρ-正则性，建立了复多项式分岔理论在实数域的对应理论，证明了分岔集有界，并通过牛顿非退化面对其进行估计。关键结果是：在无穷远处牛顿边界固定的混合多项式族中，证明了单值性稳定性定理，尽管在实数情形下参数空间非稠密且非连通，该结果仍将全纯情形的结果推广至实数设定。

ABSTRACT

We study the bifurcation values of real polynomial maps $f: \bR^{2n} o \bR^2$ which reflect the lack of asymptotic regularity at infinity. We formulate real counterparts of some structure results which have been previously proved in case of complex polynomials by Kushnirenko, N\'emethi and Zaharia and other authors, emphasizing the typical real phenomena that occur.

研究动机与目标

• 将复多项式分岔理论推广至实混合多项式，其中在无穷远处的渐近正则性无法保证。
• 利用无穷远处的ρ-正则性，刻画实多项式映射 f: R^{2n} → R^2 的分岔轨迹 B(f)。
• 通过牛顿非退化性和牛顿多面体的坏面，提供对分岔集 S(f) 的有效估计。
• 证明在无穷远处牛顿边界固定的混合多项式族中，单值性在无穷远处具有稳定性，尽管在实数情形下牛顿强非退化条件的参数空间非稠密且非连通。

提出的方法

• 引入无穷远处的ρ-正则性作为米尔诺局部条件在实数域的类比，定义米尔诺集 M(f) 和渐近坏值集 S(f)。
• 利用半代数Sard型定理，证明对于牛顿非退化的混合多项式，有 S(f) ⊂ f(Sing f) ∪ {0} ∪ ∪_{Δ∈B} f_Δ(Sing f_Δ ∩ C*^n)。
• 应用曲线选择引理与面分析，证明在牛顿强非退化条件下，f(Sing f) 和 S(f) 有界。
• 通过纤维与大球面横截性，建立无穷远处的全局纤维化，利用临界值集与坏值集的有界性。
• 应用埃赫雷斯曼纤维化定理，证明在具有固定无穷远处牛顿边界的1参数族混合多项式中，单值纤维化是同痕的。
• 通过构造具有恒定牛顿边界的连续混合多项式族，并证明其单值纤维化在族中同痕，从而证明单值性稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当实混合多项式 f: R^{2n} → R^2 在无穷远处渐近正则性失效时，如何估计其分岔轨迹 B(f)？
• RQ2 牛顿非退化性与坏面在实混合设定中对渐近坏值集 S(f) 的刻画中起什么作用？
• RQ3 尽管牛顿强非退化条件在实数情形下非稠密且非连通，是否仍可在实混合多项式设定中定义并稳定无穷远处的单值性？
• RQ4 在无穷远处牛顿边界固定的连续变形下，无穷远处的单值性如何变化？
• RQ5 在实混合设定中，相较于全纯情形，出现了哪些新现象，例如非退化面可对分岔轨迹产生贡献？

主要发现

• 分岔集 B(f) 包含于 S(f) ∪ f(Sing f)，其中 S(f) 为渐近坏值的半代数集，且在牛顿强非退化条件下 S(f) 有界。
• 对于牛顿非退化的混合多项式，有 S(f) ⊂ {0} ∪ ∪_{Δ∈B} f_Δ(Sing f_Δ ∩ C*^n)，从而对分岔轨迹提供了有效估计。
• 对于牛顿强非退化的混合多项式，无穷远处的单值性存在且定义良好，且 f 的像包含 R^2 中一个圆盘的补集。
• 在无穷远处牛顿边界固定的混合多项式连续变形下，无穷远处的单值性具有稳定性，通过纤维的同痕性得以证明。
• 若两个牛顿强非退化的混合多项式具有相同的无穷远处牛顿边界，且在无穷远处的限制为全纯（或反全纯），则其单值性是同痕的。
• 观察到一种新现象：一个面可在牛顿边界中非退化，但仍对分岔轨迹有贡献，这在全纯情形中不可能发生。