[论文解读] Bifurcations and strange attractors

L. P. Shilnikov|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用 33

一句话总结

本文将奇异吸引子分为三类——双曲型、伪双曲型和拟吸引子，重点研究导致混沌动力学的分岔。研究证明，在三维系统中，同宿纵横和结构不稳定性会导致具有可数个周期轨道的复杂吸引子，使得在纽豪斯区域中无法进行完整的理论分析。

ABSTRACT

We review the theory of strange attractors and their bifurcations. All known strange attractors may be subdivided into the following three groups: hyperbolic, pseudo-hyperbolic ones and quasi-attractors. For the first ones the description of bifurcations that lead to the appearance of Smale-Williams solenoids and Anosov-type attractors is given. The definition and the description of the attractors of the second class are introduced in the general case. It is pointed out that the main feature of the attractors of this class is that they contain no stable orbits. An etanol example of such pseudo-hyperbolic attractors is the Lorenz one. We give the conditions of their existence. In addition we present a new type of the spiral attractor that requires countably many topological invariants for the complete description of its structure. The common property of quasi-attractors and pseudo-hyperbolic ones is that both admit homoclinic tangencies of the trajectories. The difference between them is due to quasi-attractors may also contain a countable subset of stable periodic orbits. The quasi-attractors are the most frequently observed limit sets in the problems of nonlinear dynamics. However, one has to be aware that the complete qualitative analysis of dynamical models with homoclinic tangencies cannot be accomplished.

研究动机与目标

• 基于其拓扑和稳定性特性，对非线性动力系统中的奇异吸引子进行分类和表征。
• 研究同宿纵横和结构不稳定性在生成复杂混沌动力学中的作用。
• 澄清伪双曲型吸引子与拟吸引子之间的区别，特别是稳定周期轨道的存在性。
• 确立庞加莱稳定轨迹（动力混沌的关键）在小扰动下仍能持续存在的条件。
• 证明由于密集的结构不稳定性，具有同宿纵横的系统无法实现完整的分岔分析。

提出的方法

• 使用符号动力学和拓扑共轭描述双曲集中的轨迹，特别是斯梅尔-威廉姆斯螺旋和阿诺索夫型吸引子。
• 应用结构稳定性和横截性理论，分析三维流和二维微分同胚中涉及同宿轨道的分岔。
• 采用野生双曲集的概念，其中稳定与不稳定流形非横截相切，从而导致非平凡动力学。
• 利用纽豪斯区域的结果，证明存在具有可数个周期轨道的结构不稳定系统的稠密集。
• 引入拓扑不变量（模数）的概念，以描述吸收区域中无穷多个退化性的系统。
• 分析向量场的散度性质，以确定鞍值和稳定性区域出现的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 动力系统中混沌行为的庞加莱稳定轨迹存在的充要条件是什么？
• RQ2 同宿纵横如何影响三维系统中奇异吸引子的结构和稳定性？
• RQ3 从稳定周期轨道的存在性来看，伪双曲型吸引子与拟吸引子有何区别？
• RQ4 为何具有同宿纵横的系统的完整理论分析在本质上不可行？
• RQ5 纽豪斯区域在结构不稳定系统的分布以及周期轨道共存中的作用是什么？

主要发现

• 所有已知的奇异吸引子均可归为三类：双曲型、伪双曲型和拟吸引子，其中后者在非线性动力学中最为常见。
• 伪双曲型吸引子（如洛伦兹吸引子）不包含稳定周期轨道，其特征为对鞍点周期轨道的横截同宿轨道。
• 拟吸引子可能包含可数个具有狭窄吸引盆的稳定周期轨道，这些轨道在数值模拟中常被遗漏，除非处于较大的稳定性窗口内。
• 具有同宿纵横的系统表现出密集的结构不稳定性，导致纽豪斯区域的出现，在该区域中可数个周期轨道与双曲集共存。
• 在吸收区域中具有符号交替散度的系统，需要无穷多个拓扑不变量（模数）来描述其动力学。
• 由于退化性的复杂性和稠密性，具有同宿纵横的系统无法实现完整的分岔图和理论分析。