[论文解读] Bifurcations of a Leslie Gower predator prey model with Holling type III functional response and Michaelis-Menten prey harvesting

Eric Ávila-Vales, Ángel Estrella-González+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文分析了一个带有Holling型III类功能性反应和Michaelis-Menten型猎物收获的改进Leslie-Gower捕食者-猎物模型。利用动力系统理论，严格证明了Hopf分支和鞍结分支的存在，并展示了余维二的Bogdanov-Takens分支，揭示了包括极限环和同宿环在内的复杂动力学行为。研究结果为生态系统中的可持续收获提供了数学框架。

ABSTRACT

We discuss the stability and bifurcation analysis for a predator-prey system with non-linear Michaelis-Menten prey harvesting. The existence and stability of possible equilibria are investigated. We provide rigorous mathematical proofs for the existence of Hopf and saddle node bifurcations. We prove that the system exhibits Bogdanov-Takens bifurcation of codimension two, calculating the normal form. We provide several numerical simulations to illustrate our theoretical findings.

研究动机与目标

• 研究具有Holling型III类功能性反应和非线性Michaelis-Menten型猎物收获的捕食者-猎物系统的稳定性与分支结构。
• 确定系统发生Hopf分支和鞍结分支的条件，从而导致种群振荡共存或种群崩溃。
• 证明余维二的Bogdanov-Takens分支的存在，并分析其对全局动力学的影响。
• 通过识别确保捕食者与猎物种群共存的参数区域，为可持续收获政策提供数学基础。
• 通过数值模拟和临界分支点附近的参数空间分析，验证模型的生物学合理性。

提出的方法

• 通过变量和时间的尺度变换，将原始模型转化为无量纲系统(3)，在保持动力学特性的同时简化分析。
• 应用引理1（微分不等式）以确立第一象限内解的正性和有界性。
• 通过系统平衡方程的代数分析，识别并分类平衡点（平凡平衡点和内部平衡点）。
• 利用雅可比矩阵和在平衡点处的特征值评估，进行局部稳定性分析。
• 计算第一李雅普诺夫系数，以确定从Hopf分支中出现的极限环的稳定性。
• 进行规范型分析，严格证明在临界参数点处存在余维二的Bogdanov-Takens分支。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下系统会发生Hopf分支？其产生的极限环的稳定性由什么决定？
• RQ2 何种参数配置会导致鞍结分支，以及平衡点的产生或消失？
• RQ3 系统如何表现出余维二的Bogdanov-Takens分支？在该点附近会出现哪些复杂动力学行为？
• RQ4 Michaelis-Menten型收获在改变捕食者-猎物共存的稳定性与持久性方面起什么作用？
• RQ5 数值模拟如何验证关于极限环和同宿环的理论预测？

主要发现

• 当参数δ达到临界值时，系统发生Hopf分支，导致在内部平衡点周围出现稳定或不稳定极限环。
• 当两个平衡点发生碰撞并相互湮灭时，系统发生鞍结分支，表明种群持续或灭绝的阈值。
• 在特定参数值（δ = δ^BT, h = h^BT）处，系统发生余维二的Bogdanov-Takens分支，此时平衡点具有二重零特征值。
• 在Bogdanov-Takens点附近，系统表现出丰富的动力学行为，包括同宿环的出现和多个极限环。
• 使用Maple进行的数值模拟验证了理论预测，准确逼近了极限环和同宿环的分支曲线（T, H, P）。
• 分析表明，收获参数h和c显著影响系统的稳定性，通过谨慎控制这些参数可防止猎物灭绝并促进共存。