[论文解读] Bifurcations of multi-vortex configurations in rotating Bose--Einstein condensates

Carlos García-Azpeitia, Dmitry E. Pelinovsky|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文研究了由谐振子势阱中 Gross-Pitaevskii 方程控制的旋转玻色-爱因斯坦凝聚体中多涡旋构型的全局分岔。通过 Lyapunov-Schmidt 约化与对称性分析，表明当旋转频率 Ω 增加时，电荷为 $ m_0 $ 的径向对称涡旋会经历 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 次分岔，产生非对称涡旋、涡旋对以及涡旋多边形，其具体涡旋分布由 Hermite-Gauss 特征函数与零点集确定。

ABSTRACT

We analyze global bifurcations along the family of radially symmetric vortices in the Gross--Pitaevskii equation with a symmetric harmonic potential and a chemical potential $μ$ under the steady rotation with frequency $Ω$. The families are constructed in the small-amplitude limit when the chemical potential $μ$ is close to an eigenvalue of the Schrödinger operator for a quantum harmonic oscillator. We show that for $Ω$ near $0$, the Hessian operator at the radially symmetric vortex of charge $m_{0}\in\mathbb{N}$ has $m_{0}(m_{0}+1)/2$ pairs of negative eigenvalues. When the parameter $Ω$ is increased, $1+m_{0}(m_{0}-1)/2$ global bifurcations happen. Each bifurcation results in the disappearance of a pair of negative eigenvalues in the Hessian operator at the radially symmetric vortex. The distributions of vortices in the bifurcating families are analyzed by using symmetries of the Gross--Pitaevskii equation and the zeros of Hermite--Gauss eigenfunctions. The vortex configurations that can be found in the bifurcating families are the asymmetric vortex $(m_0 = 1)$, the asymmetric vortex pair $(m_0 = 2)$, and the vortex polygons $(m_0 \geq 2)$.

研究动机与目标

• 理解旋转玻色-爱因斯坦凝聚体中多涡旋构型在径向对称态之外的结构转变。
• 确定随着旋转频率 Ω 增大，涡旋数量与排列方式如何变化，特别是在临界分岔点附近。
• 利用对称性与特征函数零点结构，对产生的涡旋构型（如非对称涡旋、涡旋对与多边形）进行分类。
• 建立 Hessian 算子的负特征值个数与系统中分岔数之间的严格联系。
• 通过小振幅分岔理论，系统地分类从径向对称态衍生出的二级涡旋解分支。

提出的方法

• 采用 Lyapunov-Schmidt 约化方法，分析旋转参考系中具有对称谐振子势的 Gross-Pitaevskii 方程的小振幅解。
• 通过变量分离，将时间无关的 GP 方程约化为以化学势 μ 参数化的定态形式，靠近量子谐振子本征值附近。
• 分析电荷为 $ m_0 $ 的径向对称涡旋处的 Hessian 算子，表明在 $ heta = 0 $ 时其具有 $ m_0(m_0 + 1)/2 $ 对负特征值。
• 追踪随着 Ω 增大，负特征值对如何消失，共发生 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 次分岔，源于特征值交叉。
• 应用对称性约化，并研究 Hermite-Gauss 特征函数的零点集，以预测分岔分支中的涡旋构型。
• 利用小参数 $ a $ 和 $ b $ 的摄动展开，计算截断解，并通过径向函数的根分析确定涡旋位置。

实验结果

研究问题

• RQ1 当旋转频率 Ω 增大时，径向对称涡旋族中会发生多少次全局分岔？
• RQ2 这些分岔会产生哪些类型的涡旋构型？例如非对称涡旋、涡旋对或涡旋多边形？
• RQ3 Gross-Pitaevskii 方程的对称性与 Hermite-Gauss 特征函数的结构如何决定分岔分支中涡旋的空间分布？
• RQ4 Hessian 算子的负特征值个数在预测分岔发生时机中起什么作用？
• RQ5 涡旋位置与电荷如何依赖于参数 $ m_0 $、$ heta $ 以及小振幅展开系数？

主要发现

• 对于电荷为 $ m_0 $ 的径向对称涡旋，当 $ heta = 0 $ 时，Hessian 算子具有 $ m_0(m_0 + 1)/2 $ 对负特征值，表明其不稳定，从而触发分岔。
• 随着 $ heta $ 增大，共发生 $ 1 + m_0(m_0 - 1)/2 $ 次全局分岔，每次对应一对负特征值的消失。
• 分岔解包括：$ m_0 = 1 $ 时的非对称涡旋，$ m_0 = 2 $ 时的非对称涡旋对，以及 $ m_0 \neq 1,2 $ 时的涡旋多边形，其中电荷为 1 的涡旋位于半径 $ r_0 = \big( \frac{b}{a} C_{m,m_0} (|m - 2m_0| + 1) \big)^{1/(m_0 - |m - 2m_0|)} $ 的圆周上。
• 当 $ m = 2m_0 $ 时，涡旋构型形成由 $ m_0 $ 个涡旋组成的多边形，且无中心涡旋，例如 $ m_0 = 3 $ 时为正三角形，$ m_0 = 6 $ 时为正六边形。
• 当 $ m \neq 2m_0 $ 时，波函数的中心零点分裂为电荷为 $ d = 2m_0 - m $ 的涡旋，且仅当 $ |d| $ 可被 $ m - m_0 $ 整除时，才会分裂为 $ m - m_0 $ 个涡旋。
• 非对称涡旋（$ m_0 = 1 $）的分岔点位于 $ heta_{2,0} = 2 + \theta(1) $，涡旋对（$ m_0 = 2 $）的分岔点位于 $ heta_{3,0} = 2 + \theta(1) $，与通解公式 $ \theta_{m_0+1,0} = 2 + \theta(1) $ 一致。