[论文解读] Big jump principle for heavy-tailed random walks with correlated increments

Marc Höll, Eli Barkai|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2021

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 48被引用 4

一句话总结

本文将大跳跃原理（BJP）扩展至具有相关增量的重尾随机游走，表明总和中的极端事件不仅受最大增量（大跳跃）影响，还受后续相关增量的影响。作者推导了两种BJP形式——无条件与基于大跳跃发生步数的条件形式——表明相关性导致总和分布尾部相对于最大增量发生偏移，且该偏移取决于相关性强度与大跳跃发生的时间。

ABSTRACT

The big jump principle explains the emergence of extreme events for physical quantities modelled by a sum of independent and identically distributed random variables which are heavy-tailed. Extreme events are large values of the sum and they are solely dominated by the largest summand called the big jump. Recently, the principle was introduced into physical sciences where systems usually exhibit correlations. Here, we study the principle for a random walk with correlated increments. Examples are the autoregressive model of first order and the discretized Ornstein-Uhlenbeck process both with heavy-tailed noise. The correlation leads to the dependence of large values of the sum not only on the big jump but also on the following increments. We describe this behaviour by two big jump principles, namely unconditioned and conditioned on the step number when the big jump occurs. The unconditional big jump principle is described by a correlation dependent shift between the sum and maximum distribution tails. For the conditional big jump principle, the shift depends also on the step number of the big jump.

研究动机与目标

• 将大跳跃原理（BJP）扩展至具有相关增量的随机游走。
• 研究相关性如何影响最大增量在极端总和事件中的主导作用。
• 推导两种BJP形式：一种无条件，另一种基于大跳跃发生的步数条件。
• 量化记忆核与相关性结构对总和分布尾部行为的影响。
• 为理解相关性重尾系统中的极端事件提供一个精确可解的模型。

提出的方法

• 将随机游走建模为˜xN = ∑i=1N ˜δi，其中增量˜δi = ∑j=1i Mi−jδj，δj为独立同分布的重尾随机变量。
• 使用记忆核Mi−j诱导增量相关性，用于建模一阶自回归模型和离散化Ornstein-Uhlenbeck过程。
• 将大跳跃原理应用于总和˜xN，并将其尾部分布与˜δmax = max(˜δ1, ..., ˜δN)的尾部分布进行比较。
• 通过分析总和与最大值分布的渐近尾部行为，推导无条件BJP，表明存在与相关性相关的偏移。
• 通过条件化于大跳跃发生的步数b，推导条件BJP，揭示其对b的额外依赖性。
• 利用N=2的精确计算与渐近分析，推导尾部幂律指数与偏移量。

实验结果

研究问题

• RQ1 增量中的相关性如何影响重尾系统中大跳跃原理的有效性与形式？
• RQ2 在相关过程中，大跳跃之后的后续增量在总和极端值中贡献多大程度？
• RQ3 大跳跃发生的步数b如何影响总和分布的尾部行为？
• RQ4 在相关系统中，总和与最大值分布尾部之间的偏移函数形式为何？
• RQ5 大跳跃原理能否被推广以同时包含相关性强度与大跳跃发生的时间？

主要发现

• 无条件大跳跃原理表现出总和分布尾部与最大增量尾部之间的相关性依赖偏移，且该偏移按记忆核的函数形式缩放。
• 对于条件大跳跃原理，偏移不仅依赖于相关性，还依赖于大跳跃发生的步数b，表明极端事件形成具有时间依赖性。
• 在N=2情况下，最大增量˜δmax的尾部遵循与i.i.d.情况相同的幂律f˜δmax(z) ∼ 2αz−1−α，确认在特定条件下与BJP的一致性。
• 对于N=2的均匀分布情况，最大值概率密度函数f˜δmax(z)为分段线性，其斜率取决于记忆参数m，明确表现出对相关性的依赖。
• 总和分布fx̃N(z)的尾部指数渐近匹配最大增量f˜δmax(z)的尾部指数，证实BJP在相关性下依然成立，尽管存在位置偏移。
• 本研究表明，相关性引入了重整化效应，即总和的极端值不仅受大跳跃本身影响，还受其后整个增量序列的影响。