[论文解读] Big quantum cohomology of Fano complete intersections

Xiaowen Hu|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文提出了一种类双根递归猜想，用于计算非例外 Fano 完全交的亏格 0 Gromov-Witten 不变量，方法基于单值群不变性与 WDVV 方程的对称约化。该文证明了该猜想在恰好四个原初插入项的情形下成立，并通过上同调环结构与约化亏格 1 不变量，建立了对三次超曲面与奇维数两二次曲面交的重构定理。

ABSTRACT

For smooth complete intersections in the projective spaces, we use the deformation invariance of Gromov-Witten invariants and results in classical invariant theory to study the symmetric reduction of the WDVV equation by the monodromy groups. We propose a double root recursion conjecture for genus 0 invariants of non-exceptional Fano complete intersections other than the cubic hypersurfaces and the odd dimensional intersection of two quadrics. Based on it we develop an algorithm to compute the genus 0 invariants of any length and with any number of primitive insertions. The effectiveness of our algorithm is the main conjecture of this paper. We prove the conjecture at the first non-trivial order, which amounts to the computation of genus zero Gromov-Witten invariants with exactly 4 primitive insertions. We show a reconstruction theorem for the odd dimensional intersection of two quadrics. There are some 4-point and 8-point genus 0 Gromov-Witten invariants for cubic hypersurfaces that cannot be computed by the monodromy group method. We compute them by studying the cohomology ring structure of the Fano variety of lines and by Zinger's reduced genus 1 Gromov-Witten invariants. Then we get a reconstruction theorem for cubic hypersurfaces. At the end of the paper, we give numerical examples and some conjectural closed formulae.

研究动机与目标

• 开发一种有效算法，用于计算任意长度与原初插入项数的非例外 Fano 完全交的亏格 0 Gromov-Witten 不变量。
• 证明所提出的双根递归猜想在首个非平凡阶次（即恰好四个原初插入项的不变量）下的有效性。
• 通过上同调与亏格 1 不变量技术，建立对奇维数两二次曲面交与三次超曲面的重构定理。
• 通过分析三次超曲面的直线 Fano 簇与约化亏格 1 不变量，克服单值群方法在计算某些四点与八点不变量时的局限性。

提出的方法

• 利用 Gromov-Witten 不变量的形变不变性与经典不变量理论，在单值群作用下约化 WDVV 方程。
• 对大量子上同调势应用对称约化技术，聚焦于单值群作用下的不变量。
• 利用 Zinger 的约化亏格 1 不变量，计算原本对三次超曲面不可达的亏格 0 不变量。
• 分析三次超曲面中直线 Fano 簇的上同调环结构，以推导关键不变量。
• 为非例外 Fano 完全交（不包括三次超曲面与奇维数两二次曲面交）的亏格 0 不变量提出双根递归猜想。
• 开发一种计算算法（详见附录 D），基于矩阵 W 与 M 的递推关系及函数 A_N，递归计算 F^(k)(0)（k ≥ 0）。

实验结果

研究问题

• RQ1 双根递归猜想是否能有效计算任意长度与原初插入项数的非例外 Fano 完全交的亏格 0 Gromov-Witten 不变量？
• RQ2 为何某些三次超曲面的四点与八点不变量无法通过单值群方法计算，又该如何恢复？
• RQ3 直线 Fano 簇在重构三次超曲面的量子上同调中起何作用？
• RQ4 在 Fano 完全交背景下，约化亏格 1 不变量与亏格 0 不变量之间有何关联？
• RQ5 能否利用三次超曲面中直线 Fano 簇的上同调环结构，推导出亏格 0 不变量的闭式表达式？

主要发现

• 双根递归猜想在首个非平凡阶次被证明有效，即对恰好四个原初插入项的亏格 0 Gromov-Witten 不变量成立。
• 本文通过对称约化与单值群不变性，建立了对奇维数两二次曲面交的重构定理。
• 对于三次超曲面，该方法通过利用直线 Fano 簇的上同调环结构与约化亏格 1 不变量，克服了单值群方法的局限性，成功计算出此前不可达的四点与八点不变量。
• 计算 ⟨h^n ψ, h^{n-3}⟩_0,2 得到一个涉及对称多项式与留数的闭式表达式：(d−1)!²/2 × [1/8 + (1/4)∑(d−p)/p + (1/2)∑(d−p)(d−q)/(pq) + ∑(d−p)(d−q)(d−r)/(pqr)]，其中 1≤p<q<r≤d−1。
• 附录 D 中的算法成功递归计算了 F^(k)(0)，并给出了 F^(0)、F^(1) 与 l≥2 时的 F^(l) 的显式递推关系，基于矩阵 W、M 与函数 A_N。
• 提供了数值示例与猜想性闭式公式，包括以对称多项式与留数表示的 F^(2) 的猜想闭式公式。