[论文解读] Biharmonic Distance and the Performance of Second-Order Consensus Networks with Stochastic Disturbances

Yuhao Yi, Bingjia Yang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2017

Complex Network Analysis Techniques参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出双调和距离作为一种新型度量，用于分析在随机扰动下的二阶一致性网络，表明其对系统性能的支配作用类似于电阻距离对一阶系统的作用。作者推导了在完全图、星形图、环形图和路径图上性能度量的闭式表达式——成对方差、与平均值的偏差以及总方差，并基于该度量定义了双调和基尔霍夫指数和顶点中心性。

ABSTRACT

We study second order consensus dynamics with random additive disturbances. We investigate three different performance measures: the steady-state variance of pairwise differences between vertex states, the steady-state variance of the deviation of each vertex state from the average, and the total steady-state variance of the system. We show that these performance measures are closely related to the biharmonic distance; the square of the biharmonic distance plays similar role in the system performance as resistance distances plays in the performance of first-order noisy consensus dynamics. We further define the new concepts of biharmonic Kirchhoff index and vertex centrality based on the biharmonic distance. Finally, we derive analytical results for the performance measures and concepts for complete graphs, star graphs, cycles, and paths, and we use this analysis to compare the asymptotic behavior of the steady-variance in first- and second-order systems.

研究动机与目标

• 为解决在随机扰动下，缺乏类似于电阻距离的一致图论度量来表征二阶一致性系统的问题。
• 使用基于方差的度量，量化在随机加性噪声下二阶一致性网络的系统性能。
• 建立理论框架，将双调和距离与二阶动力学中网络一致性和系统鲁棒性联系起来。
• 定义并分析新概念——双调和基尔霍夫指数和双调和顶点中心性，以表征网络性能和节点重要性。
• 通过标准图拓扑的解析结果，比较一阶与二阶一致性系统在稳态方差上的渐近行为。

提出的方法

• 基于拉普拉斯谱提出双调和距离，将其应用从计算机图形学扩展到网络动力学。
• 定义三种性能度量：节点状态之间成对差值的稳态方差、每个节点相对于系统平均值的方差，以及系统的总方差。
• 利用谱图论和复分析（特别是拉普拉斯矩阵的特征值与特征向量）推导这些度量的解析表达式。
• 对正则图上的特征值分解所引出的三角函数和，应用傅里叶分析和单位根上的求和恒等式进行求值。
• 将双调和基尔霍夫指数定义为所有无序节点对之间双调和距离的平方和。
• 将双调和顶点中心性定义为某节点到其余所有节点的双调和距离平方和的倒数，以识别稳态方差较低的节点。

实验结果

研究问题

• RQ1 双调和距离与在随机扰动下二阶一致性网络的稳态方差之间有何关系？
• RQ2 能否为二阶一致性系统定义一个类似于电阻距离的统一度量？
• RQ3 在标准图拓扑（如完全图、星形图、环形图和路径图）中，性能度量（成对方差、偏差方差、总方差）的闭式表达式是什么？
• RQ4 双调和基尔霍夫指数和双调和顶点中心性与它们的一阶对应量相比，在系统一致性方面有何差异？
• RQ5 在不同网络结构中，二阶系统相对于一阶系统的稳态方差的渐近行为如何？

主要发现

• 节点状态之间成对差值的稳态方差由节点间双调和距离的平方直接决定。
• 每个节点状态相对于系统平均值的方差，对于双调和中心性较高的节点最小，双调和中心性定义为该节点到其他所有节点的双调和距离平方和的倒数。
• 对于大小为 $N$ 的完全图，总稳态方差为 $\frac{N}{3} - \frac{1}{3N}$，该结果通过三角函数上的求和恒等式推导得出。
• 对于大小为 $N$ 的环形图，总方差的闭式表达式为 $F_N(l) = \frac{l^4}{12N} - \frac{l^3}{3} + \frac{l^2N}{3} - \frac{l^2}{6N} + \frac{(-1)^l}{8N} + \frac{l}{3} - \frac{1}{8N}$，其中 $l \leq N$。
• 双调和基尔霍夫指数定义为所有无序节点对之间双调和距离平方和，为二阶系统中的网络一致性提供全局度量。