[论文解读] Biharmonic hypersurfaces in space forms with three distinct principal curvatures

Ram Shankar Gupta|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文证明了在具有至多三个不同主曲率的常曲率空间中的所有双调和超曲面都具有常平均曲率。通过微分几何技巧和对曲率方程中变量的代数消去法，作者建立了完整的分类：在单位球面中，唯一的紧致正则双调和超曲面是赤道球面 $\mathbb{S}^n(1/\sqrt{2})$ 和克利福德环面 $\mathbb{S}^{n_1}(1/\sqrt{2}) \times \mathbb{S}^{n_2}(1/\sqrt{2})$，其中 $n_1 \neq n_2$。该结果将陈的猜想推广至更高余维，并证实了在欧几里得空间与双曲空间中此类超曲面的非存在性。

ABSTRACT

In this paper, we have studied biharmonic hypersurfaces in space form $\bar{M}^{n+1}(c)$ with constant sectional curvature $c$. We have obtained that biharmonic hypersurfaces $M^{n}$ with at most three distinct principal curvatures in $\bar{M}^{n+1}(c)$ has constant mean curvature. We also obtain the full classification of biharmonic hypersurfaces with at most three distinct principal curvatures in arbitrary dimension space form $\bar{M}^{n+1}(c)$.

研究动机与目标

• 研究在具有至多三个不同主曲率的常曲率空间中的双调和超曲面的几何结构。
• 确定此类超曲面是否必须具有常平均曲率，从而扩展此前针对两个主曲率的结果。
• 在三曲率条件下，对常曲率空间中的所有紧致正则双调和超曲面进行分类。
• 解决在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 和 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中此类超曲面的非存在性问题。
• 在主曲率类型有限的超曲面背景下，验证陈的猜想。

提出的方法

• 推导出在常曲率空间 $\overline{M}^{n+1}(c)$ 中涉及平均曲率 $H$ 和形状算子 $A$ 的双调和方程 (2.8) 和 (2.9)。
• 假设 $H$ 不为常数，并利用 $\nabla H$ 关于 $A$ 的特征向量性质，构造一个局部标准正交标架，使得 $A$ 的对角元素为 $-nH/2, \lambda_2, \dots, \lambda_n$。
• 应用高斯方程和Codazzi方程，表达曲率不变量并推导出关于 $H$ 和 $\lambda_i$ 的多项式关系。
• 对所得多项式系统 (3.42) 和 (3.44) 使用代数消去技术，证明 $H$ 必须为常数。
• 沿 $H$ 的梯度方向应用积分曲线分析，推导出微分关系 $dH/d\lambda$，并与代数系统结合。
• 应用定理 2.1，得出常数量曲率与常平均曲率蕴含等参性，从而借助已知的等参超曲面结果实现分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有至多三个不同主曲率的常曲率空间中的双调和超曲面是否必须具有常平均曲率？
• RQ2 在单位球面 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中是否存在具有三个不同主曲率的紧致正则双调和超曲面？
• RQ3 在三曲率条件下，双调和超曲面能否存在于 $\mathbb{R}^{n+1}$ 或 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中？
• RQ4 假设平均曲率非常数是否会在此类超曲面的曲率方程中导致矛盾？
• RQ5 在任意常曲率空间中，具有至多三个不同主曲率的双调和超曲面的完整分类是什么？

主要发现

• 所有在常曲率空间 $\overline{M}^{n+1}(c)$ 中具有至多三个不同主曲率的双调和超曲面都具有常平均曲率。
• 在 $\mathbb{R}^{n+1}$ 或 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中不存在具有至多三个不同主曲率的正则双调和超曲面。
• 在 $\mathbb{S}^{n+1}$ 中具有至多三个不同主曲率的唯一紧致正则双调和超曲面是 $\mathbb{S}^n(1/\sqrt{2})$ 和 $\mathbb{S}^{n_1}(1/\sqrt{2}) \times \mathbb{S}^{n_2}(1/\sqrt{2})$，其中 $n_1 \neq n_2$。
• 该证明依赖于：假设平均曲率非常数将导致矛盾，这是通过在多项式方程组中对变量进行代数消去法实现的。
• 分类是通过将常平均曲率结果与‘常数量曲率与常平均曲率蕴含等参性’的事实相结合而实现的，这限制了可能的超曲面类型为已知类型。
• 该结果证实了陈的猜想在具有至多三个不同主曲率的常曲率空间中的超曲面情形下成立，从而将此前针对两个主曲率的结果推广至更一般情形。