[论文解读] Biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature in space forms

Yu Fu, Min-Chun Hong|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 23被引用 5

一句话总结

该论文证明了在空间形式 $ℝ^{n+1}(c)$ 中，具有常数数量曲率的双调和超曲面，若其具有至多六个不同的主曲率，则当 $c > 0$ 时具有常数平均曲率，当 $c ≤ 0$ 时为极小曲面。该结果部分证实了陈氏猜想及其推广形式，建立了在 $ℝ^{n+1}$ 或 $ℂ^{n+1}$ 中，对于 $n < 7$，不存在具有常数数量曲率的真双调和超曲面。

ABSTRACT

Let $M^n$ be a biharmonic hypersurface with constant scalar curvature in a space form $\mathbb M^{n+1}(c)$. We show that $M^n$ has constant mean curvature if $c&gt;0$ and $M^n$ is minimal if $c\leq0$, provided that the number of distinct principal curvatures is no more than 6. This partially confirms Chen's conjecture and Generalized Chen's conjecture. As a consequence, we prove that there exist no proper biharmonic hypersurfaces with constant scalar curvature in Euclidean space $\mathbb E^{n+1}$ or hyperbolic space $\mathbb H^{n+1}$ for $n&lt;7$.

研究动机与目标

• 解决具有常数数量曲率的双调和超曲面在空间形式中的分类问题，其动机源于陈氏猜想及其推广形式。
• 研究在几何约束下，此类超曲面是否必须为极小曲面或具有常数平均曲率。
• 在常数数量曲率超曲面的情形下，对陈氏猜想及其推广形式提供部分确认。
• 将先前关于具有少量主曲率的双调和超曲面的结果，推广至常数数量曲率的情形。
• 建立在维度 $n < 7$ 时，欧氏空间或双曲空间 $\mathbb{E}^{n+1}$ 或 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中不存在具有常数数量曲率的真双调和超曲面。

提出的方法

• 使用空间形式中超曲面的双调和方程，特别是条件 $\Delta \vec{H} + \text{trace } R^N(d\phi, \vec{H})d\phi = 0$，来分析平均曲率向量场。
• 在常数数量曲率及至多六个不同主曲率的假设下，简化方程组的复杂性。
• 基于与主曲率分布相关的联络形式的非零结构常数 $\omega_{ij}^k$，进行分情况分析。
• 通过微分双调和条件并利用 Codazzi 方程，推导出主曲率的多项式方程。
• 利用曲率张量和结构方程中的对称性与代数约束，证明主曲率必须为常数，除非平均曲率是常数，从而导出矛盾。
• 利用空间形式中的微分恒等式与曲率关系，消除不一致的配置，特别是在涉及零主曲率或相等主曲率的情况下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，空间形式 $\mathbb{M}^{n+1}(c)$ 中具有常数数量曲率的双调和超曲面具有常数平均曲率？
• RQ2 对于 $c \leq 0$ 的空间形式，广义陈氏猜想是否对具有常数数量曲率的双调和超曲面成立？
• RQ3 在 $n < 7$ 时，是否存在具有常数数量曲率的真双调和超曲面，其位于欧氏空间 $\mathbb{E}^{n+1}$ 或双曲空间 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中？
• RQ4 不同主曲率的数量（至多六个）如何影响具有常数数量曲率的双调和超曲面的可积性与刚性？
• RQ5 当多个主曲率三元组的结构常数 $\omega_{ij}^k$ 非零时，是否存在此类超曲面存在的代数障碍？

主要发现

• 在 $\mathbb{M}^{n+1}(c)$ 中，若双调和超曲面具有常数数量曲率且至多六个不同的主曲率，则当 $c > 0$ 时，其具有常数平均曲率。
• 当 $c \leq 0$ 时，此类超曲面为极小曲面，证实了在非正曲率空间中更强的刚性条件。
• 该结果部分确认了陈氏猜想：在 $\mathbb{E}^{n+1}$ 或 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中，对于 $n < 7$，不存在具有常数数量曲率的真双调和超曲面。
• 在至多六个不同主曲率的假设下，双调和方程组迫使主曲率恒定，除非平均曲率是常数。
• 分析表明，当存在多个非零 $\omega_{ij}^k$ 时，除非平均曲率恒定，否则将导致代数矛盾。
• 利用特定的曲率关系如 $\omega_{pp}^1 \omega_{vv}^1 = -\lambda_p\lambda_v - c$ 推导出关于 $\lambda_1$ 的多项式方程，从而强制其为常数，进而暗示平均曲率为常数。