[论文解读] BiHom-pre-Lie algebras, BiHom-Leibniz algebras and Rota-Baxter operators on BiHom-Lie algebras

Ling Liu, Abdenacer Makhlouf+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文引入左 BiHom-Lie 代数作为 BiHom-Lie 代数的自然推广，以实现 Aguiar 定理的 BiHom 类比：在左 BiHom-Lie 代数上，权为零的 Rota-Baxter 算子通过 $ x \cdot y = [R(x), y] $ 诱导出一个左 BiHom-pre-Lie 代数。此外，还证明了在结构映射可交换的 BiHom-Lie 代数上，权为 $ \lambda $ 的 Rota-Baxter 算子通过一种改进的乘法可生成新的 BiHom-Lie 代数，从而推广了先前关于 BiHom-结合代数的结果。

ABSTRACT

We investigate some properties of Rota-Baxter operators on BiHom-Lie algebras. Along the way, we introduce BiHom analogues of pre-Lie and Leibniz algebras.

研究动机与目标

• 将 Rota-Baxter 算子理论从结合代数和李代数扩展到 BiHom 型代数。
• 通过引入一种新的代数结构，解决 Aguiar 经典 pre-Lie 构造在 BiHom-Lie 代数设置下失效的问题。
• 将左 BiHom-Lie 代数定义并表征为 BiHom 版 pre-Lie 和 PostLie 代数的正确框架。
• 将 Rota-Baxter 构造从 BiHom-结合代数推广到 BiHom-Lie 代数，证明新乘法下的封闭性。

提出的方法

• 引入左 BiHom-Leibniz 代数作为 Leibniz 代数的 BiHom 类比，然后通过 BiHom-反对称性条件定义左 BiHom-Lie 代数。
• 在与结构映射 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 可交换的 BiHom-Lie 代数上，定义权为 $ \lambda $ 的 Rota-Baxter 算子。
• 在 BiHom-Lie 代数 $ (L, \cdot, \alpha, \beta) $ 上构造一种新乘法 $ a * b = R(a) \cdot b + a \cdot R(b) + \lambda a \cdot b $，并证明其生成一个新的 BiHom-Lie 代数。
• 证明：若 $ R $ 是左 BiHom-Lie 代数上权为零的 Rota-Baxter 算子，则 $ x \cdot y = [R(x), y] $ 使 $ L $ 赋予左 BiHom-pre-Lie 代数结构。
• 通过 BiHom-PostLie 代数实现统一推广，表明 Yau 变换和逆构造可同时恢复 pre-Lie 和李代数构造。
• 使用范畴论和代数技巧，验证新运算满足所需的 BiHom-结合性、BiHom-反对称性和 BiHom-Jacobi 恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Aguiar 的经典结果——在李代数上通过权为零的 Rota-Baxter 算子可得到 pre-Lie 代数——能否推广到 BiHom 设置？
• RQ2 为何标准 BiHom-Lie 代数结构无法支持此构造？何种替代结构可使其成立？
• RQ3 在 BiHom-结合代数中已成功的 Rota-Baxter 构造新代数的方法，能否推广到权为 $ \lambda $ 的 BiHom-Lie 代数？
• RQ4 BiHom 版 PostLie 代数结构的正确类比是什么？它如何统一 pre-Lie 和李代数构造？
• RQ5 结构映射 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 如何影响 Rota-Baxter 构造在新乘法下的封闭性？

主要发现

• 标准 BiHom-Lie 代数无法支持从 Rota-Baxter 到 pre-Lie 的构造；必须引入新结构——左 BiHom-Lie 代数。
• 在左 BiHom-Lie 代数上，权为零的 Rota-Baxter 算子通过 $ x \cdot y = [R(x), y] $ 诱导出左 BiHom-pre-Lie 代数，推广了 Aguiar 定理。
• 对于具有可交换 Rota-Baxter 算子 $ R $（权为 $ \lambda $）的 BiHom-Lie 代数，新乘法 $ a * b = R(a) \cdot b + a \cdot R(b) + \lambda a \cdot b $ 生成一个新的 BiHom-Lie 代数。
• 若结构映射 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 可逆，则 BiHom-Lie 代数与左 BiHom-Lie 代数的概念一致。
• 通过 Rota-Baxter 算子构造新 BiHom-Lie 代数的方法推广了 BiHom-结合代数的情形，证实了新运算下的封闭性。
• BiHom-PostLie 代数统一了 Rota-Baxter 与 pre-Lie 构造：应用逆构造可从 PostLie 代数恢复原始的 BiHom-Lie 代数结构。