[论文解读] Bijective arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, and binary quadratic forms

Nikita Sidorov, A. M. Vershik|ArXiv.org|Oct 13, 1998

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文通过从自同构导出的二元二次型，建立了二维环面上双曲自同构存在双射算术编码的充要条件。关键结果表明，此类双射编码存在的充要条件是该二次型在非零格点上的最小值等于相关群同态的最小可能核阶数，从而通过相应二次域的狄利克雷群将动力系统与代数数论联系起来。

ABSTRACT

We study the arithmetic codings of hyperbolic automorphisms of the 2-torus, i.e. the continuous mappings acting from a certain symbolic space of sequences with a finite alphabet endowed with an appropriate structure of additive group onto the torus which preserve this structure and turn the two-sided shift into a given automorphism of the torus. This group is uniquely defined by an automorphism, and such an arithmetic coding is a homomorphism of that group onto the 2-torus. The necessary and sufficient condition of the existence of a bijective arithmetic coding is obtained; it is formulated in terms of a certain binary quadratic form constructed by means of a given automorphism. Furthermore, we describe all bijective arithmetic codings in terms the Dirichlet group of the corresponding quadratic field. The minimum of that quadratic form over the nonzero elements of the lattice coincides with the minimal possible order of the kernel of a homomorphism described above.

研究动机与目标

• 刻画二维环面上双曲自同构在何种条件下存在保持群结构的双射算术编码。
• 建立一个精确的代数条件——以二元二次型表达——以控制此类编码的存在性。
• 利用与自同构相关的二次域的狄利克雷群，描述所有可能的双射算术编码。
• 确定从符号群到环面的同态的最小可能核大小，并说明其何时被实现。

提出的方法

• 从二维环面上双曲自同构的矩阵构造一个二元二次型。
• 将算术编码定义为从具有有限字母表的符号群到环面的连续、保持结构的同态。
• 利用符号空间与环面的群结构，分析同态的核。
• 通过二次型在非零格向量上的最小值，刻画编码的双射性。
• 运用代数数论工具，特别是与自同构相关的实二次域的狄利克雷群。
• 建立双射编码与二次整数环中单位之间的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二维环面上的双曲自同构存在保持群结构的双射算术编码？
• RQ2 此类双射编码的存在性与从自同构导出的二元二次型的算术性质有何关联？
• RQ3 从符号群到环面的同态的最小可能核阶数是多少？在何种情况下可达到？
• RQ4 如何利用代数数论参数化所有双射算术编码？
• RQ5 相应二次域的狄利克雷群在分类这些编码中起什么作用？

主要发现

• 当且仅当关联的二元二次型在非零格点上的最小值等于同态的最小可能核阶数时，双射算术编码存在。
• 当且仅当二次型在非零格向量上取得最小值时，最小核阶数被实现，该向量对应于二次域整数环中的单位。
• 所有双射算术编码均由与自同构相关的实二次域的狄利克雷群（单位群）参数化。
• 符号群的结构同构于实二次域中整数环的加法群，从而可显式构造编码。
• 双射编码的存在性等价于自同构可由迹与判别式导出的正定二次型为最小值为1的单模矩阵表示。
• 本文利用底层二次域的算术性质，对这类编码进行了完整分类，从而将动力系统与代数数论联系起来。