[论文解读] Bilateral Boundary Control of Moving Shockwave in LWR Model of Congested Traffic

Huan Yu, Mamadou Diagne+2 more|ArXiv.org|Apr 8, 2019

Traffic control and management参考文献 22被引用 6

一句话总结

本文提出一种基于预测器的反推边界控制律，通过补偿PDE-ODE耦合系统中状态相关的输入时滞，实现对LWR交通模型中移动激波的稳定。该方法在$H^1$范数下实现局部指数稳定，通过双边匝道控制将激波特波前驱动至期望的静态位置。

ABSTRACT

We develop backstepping state feedback control to stabilize a moving shockwave in a freeway segment under bilateral boundary actuations of traffic flow. A moving shockwave, consisting of light traffic upstream of the shockwave and heavy traffic downstream, is usually caused by changes of local road situations. The density discontinuity travels upstream and drivers caught in the shockwave experience transitions from free to congested traffic. Boundary control design in this paper brings the moving shockwave front to a static setpoint position, hindering the upstream propagation of traffic congestion. The traffic dynamics are described with Lighthill-Whitham-Richard (LWR) model, leading to a system of two first-order hyperbolic partial differential equations (PDEs). Each represents the traffic density of a spatial domain segregated by the moving interface. By Rankine-Hugoniot condition, the interface position is driven by flux discontinuity and thus governed by a PDE state dependent ordinary differential equation (ODE). For the PDE-ODE coupled system. the control objective is to stabilize both the PDE states of traffic density and the ODE state of moving shock position to setpoint values. Using delay representation and backstepping method, we design predictor feedback controllers to cooperatively compensate state-dependent input delays to the ODE. From Lyapunov stability analysis, we show local stability of the closed-loop system in $H^1$ norm. The performance of controllers is demonstrated by numerical simulation.

研究动机与目标

• 解决在拥堵高速公路交通中，上游传播导致拥堵扩散的移动激波特波稳定问题。
• 采用Lighthill-Whitham-Richard（LWR）PDE描述密度动态，使用Rankine-Hugoniot ODE描述激波特波位置。
• 设计双边边界反馈控制，调节PDE状态（交通密度）和ODE状态（激波特波位置）至设定值。
• 补偿由PDE状态在移动界面处引起的ODE中状态相关的输入时滞。
• 通过李雅普诺夫分析，建立闭环系统在$H^1$范数下的局部指数稳定。

提出的方法

• 将系统建模为PDE-ODE耦合系统：上游和下游交通密度使用两个双曲PDE描述，激波特波位置由通量不连续性决定的ODE描述。
• 应用反推法将原系统变换为带有时滞补偿的目标系统。
• 采用预测器反馈设计处理ODE中由界面处PDE状态导出的两个状态相关输入时滞。
• 引入李雅普诺夫泛函，通过比较原理证明在$H^1$范数下的局部指数稳定性。
• 确保变换的可逆性及在初始条件满足$V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$时控制设计的有效性。
• 在高速公路区段两端采用匝道控制实现双边控制输入，以达到目标交通状态。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过边界控制将拥堵高速公路中的移动激波特波稳定至固定位置？
• RQ2 何种控制策略能有效补偿由交通激波特波动力学引起的PDE-ODE耦合系统中的状态相关输入时滞？
• RQ3 基于预测器反馈的反推控制能否稳定由Rankine-Hugoniot条件控制的具有移动不连续性的LWR模型？
• RQ4 在$H^1$范数下，闭环系统局部指数稳定的条件是什么？
• RQ5 双边边界控制如何影响激波特波位置和交通密度分布的收敛性？

主要发现

• 所提出的基于预测器的反推控制在仿真中约40秒内将移动激波特波前稳定至期望的静态位置$l^* = 200$ m。
• 开环系统中激波特波在约1分钟内向上传播并离开高速公路区段，而闭环系统保持激波特波在域内。
• 控制输入在约40秒后收敛至零，表明系统已稳定至平衡状态。
• 数值仿真表明，状态误差的$H^1$范数呈指数衰减，验证了局部指数稳定的结论。
• 李雅普诺夫分析证明，当初始条件满足$V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$时系统保持稳定，其中$\delta_1 = \min\{(L-l^*)^2, (l^*)^2\}$。
• 这是首个在交通控制背景下，针对多个PDE状态相关输入时滞级联进入非线性ODE问题的理论工作。