[论文解读] Bilinear forms on exact operator spaces and B(H)\otimes B(H)

Marius Junge, Gilles Pisier|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1993

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文引入了在精确算子空间上的迹有界双线性型，并证明了从精确算子空间到另一算子空间对偶的每个完全有界映射均可通过希尔伯特空间进行分解。利用此结果，解决了长期悬而未决的难题，表明 $ B(H) \otimes B(H) $ 具备多于一种的 $ C^* $-范数，从而推出 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $，并确立了当 $ n > 2 $ 时，$ n $-维算子空间的完全有界 Banach-Mazur 空间是非可分的。

ABSTRACT

Let $E,F$ be exact operators (For example subspaces of the $C^*$-algebra $K(H)$ of all the compact operators on an infinite dimensional Hilbert space $H$). We study a class of bounded linear maps $u\colon E o F^*$ which we call tracially bounded. In particular, we prove that every completely bounded (in short $c.b.$) map $u\colon E o F^*$ factors boundedly through a Hilbert space. This is used to show that the set $OS_n$ of all $n$-dimensional operator spaces equipped with the $c.b.$ version of the Banach Mazur distance is not separable if $n>2$. As an application we show that there is more than one $C^*$-norm on $B(H)\otimes B(H)$, or equivalently that $$B(H)\otimes_{\min}B(H) ot=B(H)\otimes_{\max}B(H),$$ which answers a long standing open question. Finally we show that every ``maximal" operator space (in the sense of Paulsen) is not exact in the infinite dimensional case, and in the finite dimensional case, we give a lower bound for the ``exactness constant".

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的公开问题：$ B(H) \otimes B(H) $ 是否具备多于一种的 $ C^* $-范数？
• 刻画在精确算子空间之间 $ u: E \to F^* $ 的有界线性映射，其为迹有界者。
• 证明从精确算子空间到对偶算子空间的每个完全有界映射均可通过希尔伯特空间进行分解。
• 利用此分解结果，证明在完全有界 Banach-Mazur 距离下，$ n $-维算子空间的集合在 $ n > 2 $ 时是非可分的。
• 证明在保罗森意义下的每个最大算子空间在无限维情形下都不是精确的，并在有限维情形下给出精确常数的下界。

提出的方法

• 将映射 $ u: E \to F^* $ 定义为迹有界映射，即其对应的 $ E \times F $ 上的双线性型满足类似迹的有界性条件。
• 利用算子空间与完全有界映射的理论，通过分解定理证明此类迹有界映射可通过希尔伯特空间进行分解。
• 将分解结果应用于由 $ B(H) $ 导出的 $ n \times n $ 矩阵空间的算子空间结构，证明在 $ n > 2 $ 时，$ c.b. $ Banach-Mazur 距离空间是非可分的。
• 通过利用最大算子空间的非精确性构造反例，证明 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $。
• 利用对偶性与 $ K(H) $（紧算子）的结构，将精确算子空间嵌入 $ B(H) $，从而实现对张量范数的分析。
• 通过分析其非精确性，建立有限维最大算子空间精确常数的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ B(H) \otimes B(H) $ 是否具备多于一种的 $ C^* $-范数，从而推出 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $？
• RQ2 从精确算子空间到另一算子空间对偶的每个完全有界映射是否均可通过希尔伯特空间进行分解？
• RQ3 在完全有界 Banach-Mazur 距离下，$ n $-维算子空间的集合在 $ n > 2 $ 时是否可分？
• RQ4 在保罗森意义下的最大算子空间在无限维情形下是否精确？
• RQ5 有限维最大算子空间的精确常数的最佳可能下界是什么？

主要发现

• 本文证明了 $ B(H) \otimes_{\min} B(H) \neq B(H) \otimes_{\max} B(H) $，从而解决了算子代数领域长期悬而未决的公开问题。
• 每个从精确算子空间到另一算子空间对偶的完全有界映射 $ u: E \to F^* $ 均可有界地通过希尔伯特空间进行分解。
• 在完全有界 Banach-Mazur 距离下，$ n $-维算子空间的集合 $ OS_n $ 在 $ n > 2 $ 时是非可分的。
• 每个无限维最大算子空间（在保罗森意义下）均不是精确的。
• 有限维最大算子空间的精确常数有正的通用下界，尽管其确切值未被计算。