[论文解读] Bilinearisation-reduction approach to the nonlocal discrete nonlinear Schrödinger equations

Xiao Deng, Sen‐Yue Lou+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一种双线性化-约化方法，用于构建非局部离散非线性薛定谔方程（包括反向空间、反向时间及反向时空变体）的精确解。通过先对约化前的耦合系统进行双线性化并推导双重卡索拉蒂解，再对卡索拉蒂条目施加约化，该方法生成满足非局部约束的显式解，为在离散格点上求解非局部可积系统提供了一个系统且计算高效的框架。

ABSTRACT

A bilinearisation-reduction approach is described for finding solutions for nonlocal integrable systems and is illustrated with nonlocal discrete nonlinear Schrödinger equations. In this approach we first bilinearise the coupled system before reduction and derive its double Casoratian solutions, then we impose reduction on double Casoratians so that they coincide with the nonlocal reduction on potentials. Double Caosratian solutions of the classical and nonlocal (reverse space, reverse time and reverse space-time) discrete nonlinear Schrödinger equations are presented.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构造非局部可积系统的精确解，特别是离散非线性薛定谔方程。
• 解决直接对约化后的系统进行双线性化时计算繁琐的问题，尤其是在非局部离散NLS方程中。
• 证明在约化前先进行双线性化，再对解施加约化，可得到满足非局部约束的有效解。
• 将该方法推广至经典及所有三类非局部离散NLS方程：反向空间、反向时间与反向时空。

提出的方法

• 首先，通过依赖变量变换 $ Q_n = g_n / f_n $，$ R_n = h_n / f_n $，对离散NLS方程的约化前耦合系统进行双线性化，得到包含Hirota的 $ D_t $ 算子的双线性系统。
• 利用矩阵向量 $ \Phi_n $ 和 $ \Psi_n $ 推导双线性系统的双重卡索拉蒂解，其条目满足涉及平移算子的线性谱方程。
• 对卡索拉蒂条目施加约化，使得 $ f_n $、$ g_n $、$ h_n $ 及其复共轭之间的关系与 $ Q_n $ 和 $ R_n $ 上的非局部约化一致。
• 利用双重卡索拉蒂行列式结构 $ |\widehat{m};\widehat{p}| $ 生成解，其中 $ f_n = |\widehat{m};\widehat{p}| $，$ g_n = |\widehat{m+1};\widehat{p-1}| $，$ h_n = -|\widehat{m-1};\widehat{p+1}| $。
• 通过将解代入双线性方程并利用广义普吕克恒等式（50）等恒等式验证其一致性。
• 证明该方法比直接处理约化方程更通用且更高效，因为它从一开始就避免了解非局部系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否系统性地将双线性化-约化方法应用于非局部离散可积系统，以生成精确解？
• RQ2 如何将约化前系统的双重卡索拉蒂解约化，以获得满足非局部约束（如 $ R_n = \delta Q_n^* $，$ R_n = \delta Q_{-n}^* $ 等）的解？
• RQ3 卡索拉蒂条目的结构与离散NLS方程中非局部对称性之间存在何种关系？
• RQ4 该方法是否保持可积性，并允许构造具有不同动力学行为的解，例如在反向时空对称设置下的孤子解？
• RQ5 该方法能否推广至离散NLS方程以外的其他非局部可积族？

主要发现

• 双线性化-约化方法成功生成了所有经典及非局部（反向空间、反向时间、反向时空）离散非线性薛定谔方程的双重卡索拉蒂解。
• 反向时空非局部情形的解被显式构造，其中 $ Q_n $ 表示为 $ \frac{1}{\sqrt{-\delta}} \frac{e^{2k_1} - e^{-2k_1^*}}{e^{k_1 - k_1^*} (e^{2k_1^* n + 2i\xi_1^* t} + e^{-2k_1 n + 2i\xi_1 t})} $，其中 $ \xi_1 = e^{2k_1} - 2 + e^{-2k_1} $。
• 当对卡索拉蒂条目施加相同约化时，势函数上的约化条件（如 $ R_n = \delta Q_n^* $ 等）能自动满足。
• 与先前工作相比，该方法在计算效率和概念清晰性上更优，证明其优于直接对非局部方程进行双线性化。
• 解的结构在矩阵 $ A $ 的相似变换下保持不变，意味着无论选择 $ A $ 或其相似形式 $ \Gamma $，所得的 $ Q_n $ 和 $ R_n $ 均相同。
• 该方法具有普适性和可推广性，适用于非局部可积系统，因其将双线性化与约化步骤分离，从而实现系统化的解构造。