[论文解读] Bilipschitz versus quasi-isometric equivalence for higher rank lamplighter groups

Tullia Dymarz, Irine Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文构造了首组具有拟等距但非双Lipschitz等价的有限生成群，利用高阶灯工群 $\Gamma_d(q)$，其凯莱图为迪斯特尔-莱德勒复形 $DL_d(q)$。关键结果表明，当 $k$ 不是 $q$ 的素因数乘积时，$DL_d^k(q)$ 与 $DL_d(q)$ 拟等距但非双Lipschitz等价，将此前关于有限生成灯工群的结果推广至有限表示的设定。

ABSTRACT

We describe a family of finitely presented groups which are quasi-isometric but not bilipschitz equivalent. The first such examples were described by the first author and are the lamplighter groups $F \wr \mathbb{Z}$ where $F$ is a finite group; these groups are finitely generated but not finitely presented. The examples presented in this paper are higher rank generalizations of these lamplighter groups and include groups that are of type $F_n$ for any $n$.

研究动机与目标

• 构造有限表示群，使其拟等距但非双Lipschitz等价，将先前关于有限生成灯工群的结果加以推广。
• 将迪斯特尔-莱德勒图构造推广至高阶灯工群 $\Gamma_d(q)$，其凯莱图为 $DL_d(q)$，作为 $d$ 棵树的积的子集。
• 证明当 $k$ 不是 $q$ 的素因数乘积时，$DL_d^k(q)$ 与 $DL_d(q)$ 拟等距但非双Lipschitz等价，从而确立一类新的度量上不同的群。
• 展示对任意 $n$，均存在类型为 $F_n$ 的群，其拟等距但非双Lipschitz等价，从而解决几何群论中一个长期悬而未决的问题。

提出的方法

• 作者使用高阶灯工群 $\Gamma_d(q) = \left(\prod_{i=1}^d \mathcal{L}_q((t))\right) \rtimes \mathbb{Z}^{d-1}$，并选取一个生成集，使得其凯莱图可识别为迪斯特尔-莱德勒复形 $DL_d(q)$ 的 1-骨架。
• 他们通过 $\mathbb{Z}^{d-1}$ 通过满足和为零的同态 $\alpha_i$ 作用于 $DL_d(q)$ 的几何结构，将其视为 $d$ 棵齐次树积的子集进行分析。
• 通过粗微分研究拟等距，重点分析平面中测地线及其在拟等距下的像。
• 证明依赖于分析‘块’——即投影到树状子空间的预像——的映射方式，表明其被映射至有界距离内的块。
• 关键技巧在于证明拟等距保持了这些平面中测地线段构成的四边形的结构。
• 作者应用 Eskin、Fisher 和 Whyte 关于可解群与 $DL_d(q)$ 的自拟等距结果，并将其调整以证明任意拟等距均与形式为 $f_1 \times \cdots \times f_d \times \text{id}$ 的标准映射一致接近。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在有限表示群，其拟等距但非双Lipschitz等价？
• RQ2 能否将构造拟等距但非双Lipschitz等价群的方法，从有限生成群推广至有限表示群？
• RQ3 在何种条件下，$DL_d^k(q)$ 与 $DL_d(q)$ 拟等距但非双Lipschitz等价？
• RQ4 能否为任意 $n$ 构造出类型为 $F_n$ 的群，使其拟等距但非双Lipschitz等价？
• RQ5 迪斯特尔-莱德勒复形及其子图的几何结构在拟等距下如何表现？

主要发现

• 本文为任意 $n$ 构造出类型为 $F_n$ 的群，使其拟等距但非双Lipschitz等价，从而解决了几何群论中的一个关键开放问题。
• 当 $k$ 不是 $q$ 的素因数乘积时，图 $DL_d^k(q)$ 与 $DL_d(q)$ 拟等距但非双Lipschitz等价，证明了主要结果。
• 高阶灯工群 $\Gamma_d(q)$ 的凯莱图被识别为 $DL_d(q)$，即 $d$ 棵齐次树积的子空间。
• 在 $DL_d^k(q)$ 与 $DL_d(q)$ 之间的拟等距保持了四边形与块的大尺度结构，但当 $k$ 不是由 $q$ 的素因数组成时，其无法成为双Lipschitz映射。
• 证明表明，这些空间之间的任意拟等距均与形式为 $f_1 \times \cdots \times f_d \times \text{id}$ 的标准映射处于一致有界距离内，其中每个 $f_i$ 在 $\mathbb{R}$ 上为双Lipschitz，但当 $k$ 不是 $q$ 的素因数乘积时，此类映射无法存在。
• 该构造将早期关于 $F \wr \mathbb{Z}$ 的结果推广至高阶群，首次提供了此类群的有限表示实例。