[论文解读] Bimatrix variate generalised beta distributions

José A. Dı́az-Garcı́a, Ramón Gutiérrez Jáimez|ArXiv.org|Apr 11, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文引入了双矩阵变量化广义贝塔分布，作为矩阵变量化贝塔分布的扩展，通过三个独立的矩阵变量化伽马变量对依赖的随机矩阵进行建模。主要贡献在于推导出这些分布的精确概率密度函数和矩，从而在时间有序观测之间存在依赖关系的假设下，支持多元分析、多维尺度分析和形状理论中的应用。

ABSTRACT

In this paper, we extend the study of bivariate generalised beta type I and II distributions to the matrix variate case.

研究动机与目标

• 通过基于三个独立的矩阵变量化伽马变量，将矩阵变量化贝塔分布推广为双矩阵变量化广义贝塔分布。
• 对来自重复测量或时间序列上观察的两个随机矩阵之间的依赖关系进行建模。
• 推导双矩阵变量化广义贝塔分布的精确联合概率密度函数与矩生成函数。
• 为在非独立同分布假设下，多维尺度分析与仿射形状分析中的应用提供理论基础。
• 将现有的单变量与矩阵变量化贝塔模型扩展至具有显式参数化与分布性质的双矩阵框架。

提出的方法

• 通过三个独立的矩阵变量化伽马分布随机矩阵（参数分别为 $a$、$b$、$c$）的变换定义双矩阵变量化广义贝塔分布。
• 利用对称正定矩阵的变量替换与雅可比行列式，推导 $\mathbf{U}_1$ 与 $\mathbf{U}_2$ 的联合密度。
• 利用已知的积分表示，通过矩阵变量的超几何函数 ${}_3F_2$ 对该分布进行表征。
• 利用涉及超几何函数与多元贝塔函数的积分恒等式，推导形如 $\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ 的矩。
• 通过 $\mathbf{U}_1$ 与 $\mathbf{U}_2$ 的逆变换，推导 $\mathbf{V}_1 = \mathbf{U}_1^{-1}$ 与 $\mathbf{V}_2 = \mathbf{U}_2^{-1}$ 的密度，得到以逆矩阵表示的新密度形式。
• 理论结果通过使用杰克多项式及计算矩阵变量超几何函数的算法得到支持，从而实现数值计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩阵变量化贝塔分布扩展以建模来自重复观测或两个时间点的两个依赖随机矩阵？
• RQ2 涉及三个独立矩阵变量化伽马变量的双矩阵变量化广义贝塔分布的精确联合概率密度函数是什么？
• RQ3 如何利用矩阵变量的特殊函数，推导该双矩阵分布下形如 $\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ 的矩？
• RQ4 逆矩阵 $\mathbf{U}_1^{-1}$ 与 $\mathbf{U}_2^{-1}$ 的分布是什么？它与原始双矩阵分布有何关系？
• RQ5 该双矩阵分布以何种方式可用于在时间依赖条件下建模多维尺度分析或形状分析中的学习效应？

主要发现

• 联合密度被推导为 $\frac{1}{\beta^*_m[a,b,c]} |\mathbf{U}_1|^{a-(m+1)/2} |\mathbf{U}_2|^{b-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_1|^{c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_2|^{c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{U}_1 - \mathbf{U}_2|^{a+b+c-(m+1)/2} (d\mathbf{U}_1)(d\mathbf{U}_2)$，在 $\mathbf{0} < \mathbf{U}_1, \mathbf{U}_2 < \mathbf{I}_m$ 且 $\mathbf{U}_1 + \mathbf{U}_2 < \mathbf{I}_m$ 条件下成立。
• 矩 $\mathbb{E}[|\mathbf{Z}|^r]$ 以具有矩阵变量的广义超几何函数 ${}_3F_2$ 表达，可在适当的参数约束下实现解析计算。
• 逆变换导出 $\mathbf{V}_1 = \mathbf{U}_1^{-1}$ 与 $\mathbf{V}_2 = \mathbf{U}_2^{-1}$ 的密度为 $\frac{|\mathbf{V}_1|^{-a-(m+1)/2} |\mathbf{V}_2|^{-b-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{V}_1^{-1}|^{b+c-(m+1)/2} |\mathbf{I}_m - \mathbf{V}_2^{-1}|^{a+c-(m+1)/2}}{\beta^*_m[a,b,c] |\mathbf{I}_m - (\mathbf{V}_1\mathbf{V}_2)^{-1}|^{a+b+c}} (d\mathbf{V}_1)(d\mathbf{V}_2)$，在 $\mathbf{0} < \mathbf{V}_1, \mathbf{V}_2 < \mathbf{I}_m$ 条件下成立。
• 该分布被证明适用于建模多维尺度分析中的时间依赖性，其中来自两个时间点的相似性矩阵并非相互独立。
• 理论框架支持在仿射形状理论中使用双矩阵变量化广义贝塔分布，特别是作为柯西构型密度的推广。
• 使用 Koev 和 Edelman 的算法计算矩阵变量超几何函数，使得推导出的密度与矩能够高效地进行数值评估。