[论文解读] Binary Bell polynomials approach to the integrability of nonisospectral and variable-coefficient nonlinear equations

Engui Fan|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2010

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文将二元Bell多项式方法扩展至非同谱及变系数非线性方程，系统分析其完全可积性，如变系数KdV（vc-KdV）和KP（vc-KP）方程。通过利用二元Bell多项式，该方法高效地推导出双线性Bäcklund变换、Lax对、Darboux协变Lax算子以及具有显式递推公式的无穷多守恒律，表明在特定系数约束下，尽管系数可变，可积性仍得以保持。

ABSTRACT

Recently, Lembert, Gilson et al proposed a lucid and systematic approach to obtain bilinear Bäcklund transformations and Lax pairs for constant-coefficient soliton equations based on the use of binary Bell polynomials. In this paper, we would like to further develop this method with new applications. We extend this method to systematically investigate complete integrability of nonisospectral and variable-coefficient equations. In addiction, a method is described for deriving infinite conservation laws of nonlinear evolution equations based on the use of binary Bell polynomials. All conserved density and flux are given by explicit recursion formulas. By taking variable-coefficient KdV and KP equations as illustrative examples, their bilinear formulism, bilinear Bäcklund transformations, Lax pairs, Darboux covariant Lax pairs and conservation laws are obtained in a quick and natural manner. In conclusion, though the coefficient functions have influences on a variable-coefficient nonlinear equation, under certain constrains the equation turn out to be also completely integrable, which leads us to a canonical interpretation of their $N$-soliton solutions in theory.

研究动机与目标

• 将二元Bell多项式方法系统扩展至非同谱及变系数非线性PDE，其复杂性高于常系数情形。
• 基于统一框架，系统推导变系数KdV和KP方程的双线性Bäcklund变换与Lax对。
• 提出一种新方法，通过将二元Bell多项式分解为Riccati型与散度型方程，构造无穷多守恒律。
• 识别出保持Lax对与守恒律等关键可积性特征的变系数约束条件。
• 证明在特定系数约束下，变系数方程可保持完全可积性，其性质与常系数情形类似。

提出的方法

• 利用多维二元Bell多项式刻画可双线性化方程并推导可积性结构。
• 采用两场条件分解法，将Bell多项式分解为Riccati型与散度型方程，用于守恒律构造。
• 通过系统化的多项式运算，将该方法应用于推导vc-KdV与vc-KP方程的双线性形式、Bäcklund变换与Lax对。
• 通过参数 $\varepsilon$ 的渐近展开，利用递推公式推导无穷多守恒律，包括守恒密度 $I_n$ 与通量 $F_n$、$G_n$。
• 在如 $h_3 h_1^{-1} = \text{constant}$ 等系数约束下，建立Lax算子的Darboux协变性。
• 通过因变量变换与势函数（如 $\eta = (q'_x - q_x)/2$）简化并解耦系统，以利于分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 二元Bell多项式方法能否系统地扩展至非同谱及变系数非线性PDE？
• RQ2 非线性方程保持完全可积性的变量系数必要且充分条件是什么？
• RQ3 如何利用Bell多项式为变系数方程构造无穷多守恒律？
• RQ4 在变系数方程背景下，双线性Bäcklund变换与Lax对之间有何关系？
• RQ5 在何种系数约束下，变系数KdV与KP方程存在Darboux协变Lax对？

主要发现

• vc-KdV与vc-KP方程可通过二元Bell多项式推导出双线性Bäcklund变换与Lax对，证实其在特定系数约束下具有可积性。
• 该方法自然识别出可积性约束，如 $h_2 = 6h_1 e^{\tiny{\textstyle\textstyle\frac{1}{2}}\int h_7 dt}$，确保双线性形式与Lax对的存在性。
• 无穷多守恒律通过显式递推公式构造：$I_1 = -\frac{1}{2} u e^{\int h_4 dt}$，$I_2 = \frac{1}{4} e^{\int h_4 dt}(u_{2x} + \alpha \partial_x^{-1} u_y)$，以及对 $n \geq 2$ 有 $I_n = -\frac{1}{2}(I_{n,x} + \sum_{k=1}^n I_k I_{n-k} + \alpha \partial_x^{-1} I_{n,y})$。
• 通量 $F_n$ 与 $G_n$ 显式表示为 $I_n$ 的函数，其中 $F_1 = h_1 I_{1,2x} - 6\alpha h_1 I_1^2 - 6\alpha h_1 \partial_x^{-1} I_{2,y} + (h_5 + h_6 y) I_1$。
• 在约束 $h_3 h_1^{-1} = \text{constant}$ 下，Lax算子的Darboux协变性得以确立，从而支持vc-KP族的高阶成员。
• 证明vc-KP方程具有形式为 $I_{n,t} + F_{n,x} + G_{n,y} = 0$ 的无穷多守恒律，其中 $I_n$ 与通量由递推关系导出，确认在所推导的系数约束下实现完全可积性。