[论文解读] Binary Cyclic Codes from Explicit Polynomials over $\gf(2^m)$

Cunsheng Ding, Zhengchun Zhou|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2013

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

该论文利用 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上的单项式和三项式构造了最优及近似最优的二元循环码，通过显式多项式实现灵活的维度和紧致的最小距离界限。该方法生成的码满足或接近已知线性码的界限，多个示例证明了其最优性，包括 $[31,10,12]$ 和 $[31,15,8]$ 码。

ABSTRACT

Cyclic codes are a subclass of linear codes and have applications in consumer electronics, data storage systems, and communication systems as they have efficient encoding and decoding algorithms. In this paper, monomials and trinomials over finite fields with even characteristic are employed to construct a number of families of binary cyclic codes. Lower bounds on the minimum weight of some families of the cyclic codes are developed. The minimum weights of other families of the codes constructed in this paper are determined. The dimensions of the codes are flexible. Some of the codes presented in this paper are optimal or almost optimal in the sense that they meet some bounds on linear codes. Open problems regarding binary cyclic codes from monomials and trinomials are also presented.

研究动机与目标

• 开发一种基于 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上显式单项式和三项式的二元循环码系统化构造方法。
• 确定特定族构造码的最小重量和维度。
• 确定在何种条件下，这些码相对于已知线性码界限达到最优或近似最优。
• 探索这些码在编码理论和密码学中应用的潜力，因其优良的距离特性与高线性跨度。
• 为未来研究循环码的结构与参数提出开放性问题，特别是基于单项式和三项式的循环码。

提出的方法

• 使用 $\mathrm{GF}(2^m)$ 上形如 $x^e$ 和 $x^e + x^f + x^g$ 的单项式与三项式，定义具有特定周期性的序列。
• 采用生成多项式 $g(x) = \frac{x^n - 1}{\gcd(S^n(x), x^n - 1)}$，其中 $S^n(x)$ 为序列的生成函数。
• 利用 $q$-循环陪集模 $n = 2^m - 1$ 分析循环码的结构。
• 应用 BCH 界及最小多项式性质，推导最小距离的下界。
• 计算序列的线性跨度，以评估其在流密码应用中的密码学强度。
• 使用迹函数 $\mathrm{Tr}(x)$ 和函数 $\mathbb{N}_q(i)$ 描述序列结构及其代数性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $m \equiv 3 \pmod{4}$ 时，由单项式 $x^e$（其中 $e = 2^{(m-1)/2} + 2^{(3m-1)/4} - 1$）定义的二元循环码 $\mathcal{C}_s$ 的维度和最小重量是多少？
• RQ2 当 $m = 5i$ 时，由 $x^e$（其中 $e = 2^{4i} + 2^{3i} + 2^{2i} + 2^i - 1$）定义的 $\mathcal{C}_s$ 的维度和最小重量是多少？
• RQ3 在三项式构造中，当 $h > 0$ 时，能否为码 $\mathcal{C}_s$ 建立紧致的最小距离下界？
• RQ4 由单项式和三项式导出的序列的线性跨度如何比较？其对密码学应用有何影响？
• RQ5 在何种条件下，所构造的二元循环码在最小距离方面达到最优或近似最优？

主要发现

• 在 $\mathrm{GF}(2^4)$ 上，由生成多项式 $x^4 + x + 1$ 定义的码 $\mathcal{C}_s$ 是一个 $[15,11,3]$ 的最优二元循环码。
• 当 $m=4$，$h=2$ 时，由生成多项式 $x^8 + x^7 + x^6 + x^4 + 1$ 定义的码 $\mathcal{C}_s$ 是一个 $[15,7,5]$ 的最优二元循环码。
• 当 $m=5$，$h=0$ 时，由生成多项式 $x^{21} + x^{18} + \cdots + x + 1$ 定义的码 $\mathcal{C}_s$ 是一个 $[31,10,12]$ 的最优二元循环码。
• 当 $m=5$，$h=1$ 时，由生成多项式 $x^{16} + x^{14} + \cdots + x + 1$ 定义的码 $\mathcal{C}_s$ 是一个 $[31,15,8]$ 的最优二元循环码。
• 由某些单项式和三项式导出的序列的线性跨度较大，表明其具有强密码学特性，适用于密钥流生成。
• 当 $m$ 为奇数且 $h=0$ 时，基于最小多项式的互逆多项式零点，BCH 界可提供 $d \geq 8$ 的最小距离下界。