[论文解读] Binary Images of Z2Z4-Additive Cyclic Codes

Joaquim Borges, Steven T. Dougherty+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文表征了所有 β 为奇数的 ℤ₂ℤ₄-加法循环码，其在 Nechaev-Gray 映射下的二进制像为线性二进制码。论文证明了此类码生成 ℤ₂-双循环码，并基于 𝔽₂[x] 上 x^β−1 的因式分解和最大公因式条件，给出了其二进制像的显式生成多项式。

ABSTRACT

A Z2Z4-additive code C is called cyclic if the set of coordinates can be partitioned into two subsets, the set of Z_2 and the set of Z_4 coordinates, such that any cyclic shift of the coordinates of both subsets leaves the code invariant. We study the binary images of Z2Z4-additive cyclic codes. We determine all Z2Z4-additive cyclic codes with odd beta whose Gray images are linear binary codes.

研究动机与目标

• 确定所有 β 为奇数且其二进制 Gray 像为线性码的 ℤ₂ℤ₄-加法循环码。
• 识别 ℤ₂ℤ₄-加法循环码的二进制像保持线性的结构条件。
• 将 Nechaev-Gray 映射下的二进制像表征为 ℤ₂-双循环码。
• 基于 ℤ₂×ℤ₄ 上的码结构，提供其二进制像的显式生成多项式。
• 建立原始码与其中二进制像之间生成多项式的关系。

提出的方法

• 将 ℤ₂ℤ₄-加法循环码表示为 ℤ₂[x]/⟨x^α−1⟩ × ℤ₄[x]/⟨x^β−1⟩ 的子模。
• 使用 Nechaev-Gray 映射 Ψ 将码字从 ℤ₂^α × ℤ₄^β 映射到 ℤ₂^{α+2β}，同时保持码的结构。
• 应用条件 gcd( (f̃b)/gcd(b,ℓg̃), g̃⊗g̃ ) = 1 在 𝔽₂[x] 中，以确保二进制像的线性性。
• 推导出二进制像的生成元为 ⟨(b|0), (ℓ′|f̃²h)⟩，其中 ℓ′ ≡ pℓ mod b 且 p 满足 p(fh+2f) = ψ⁻¹(f̃²h)。
• 利用 x^β−1 = fgh 的多项式因式分解，其中 f,h 为首一多项式且 g|f̃，以分析码的结构。
• 利用文献 [6] 中关于 ℤ₂-双循环码的结果，证明当二进制像为线性时，Ψ(𝒞) 是一个双循环码。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，ℤ₂ℤ₄-加法循环码的二进制像为线性码？
• RQ2 当二进制像为线性时，如何显式确定其生成元？
• RQ3 原始 ℤ₂ℤ₄ 码与其中二进制像在 Nechaev-Gray 映射下的生成多项式之间存在何种关系？
• RQ4 为何选择 Nechaev-Gray 映射而非标准 Gray 映射来保持二进制像中的循环结构？
• RQ5 β 的奇偶性在确保二进制像线性性方面起到何种作用？

主要发现

• 所有 β 为奇数且其 Gray 像为线性二进制码的 ℤ₂ℤ₄-加法循环码，均通过 𝔽₂[x] 中的条件 gcd( (f̃b)/gcd(b,ℓg̃), g̃⊗g̃ ) = 1 完全表征。
• 在 Nechaev-Gray 映射下，二进制像为长度为 α+2β 的 ℤ₂-双循环码，由 ⟨(b|0), (ℓ′|f̃²h)⟩ 生成。
• 二进制像的生成元 ℓ′ 由 ℓ′ ≡ pℓ mod b 得到，其中 p 满足 p(fh+2f) = ψ⁻¹(f̃²h)。
• 当且仅当 gcd 条件成立时，像保持线性，这确保了像对加法的封闭性。
• 一个例子表明，当 β=3，α=3，f=1，h=x²+x+1 时，码 ⟨(x²+x+1|0),(1|x²+x+3)⟩ 映射为长度为 9 的线性 ℤ₂-双循环码。
• 本文证明，对于任意 κ，类型为 (2,7;2,3;κ) 的 ℤ₂ℤ₄-加法码均无线性 Gray 像，原因在于 gcd 条件不成立。