[论文解读] Binary Jumbled Pattern Matching via All-Pairs Shortest Paths

Danny Hermelin, Gad M. Landau+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2014

Algorithms and Data Compression参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文提出了一种新颖的归约方法，将字符串和树上的二值打乱模式匹配问题归约为全源最短路径（APSP），并利用威廉姆斯在最小-加法矩阵乘法算法上的突破性成果。通过将问题转化为矩阵运算，该方法实现了 $ n^2 / 2^{\text{polylog}(n)} $ 的时间复杂度，显著优于此前字符串和树上均为 $ O(n^2 / \log^2 n) $ 的时间界限。

ABSTRACT

In binary jumbled pattern matching we wish to preprocess a binary string $S$ in order to answer queries $(i,j)$ which ask for a substring of $S$ that is of size $i$ and has exactly $j$ 1-bits. The problem naturally generalizes to node-labeled trees and graphs by replacing "substring" with "connected subgraph". In this paper, we give an ${n^2}/{2^{Ω(\log n/\log \log n)^{1/2}}}$ time solution for both strings and trees. This odd-looking time complexity improves the state of the art $O(n^2/\log^2 n)$ solutions by more than any poly-logarithmic factor. It originates from the recent seminal algorithm of Williams for min-plus matrix multiplication. We obtain the result by giving a black box reduction from trees to strings. This is then combined with a reduction from strings to min-plus matrix multiplications.

研究动机与目标

• 克服字符串和树上二值打乱模式匹配长期存在的 $ O(n^2 / \log^2 n) $ 时间瓶颈。
• 建立打乱模式匹配与最小-加法矩阵乘法（等价于APSP）之间的联系。
• 利用最小-加法矩阵乘法的最新进展，特别是威廉姆斯提出的 $ n^3 / 2^{\text{polylog}(n)} $ 算法，以改进当前最优算法。
• 通过黑箱转换将解法推广至节点带标签的树，方法是将树问题归约为字符串问题。
• 将结果扩展至加权字符串和树上的最大子段和问题，在相同时间界限下求解。

提出的方法

• 将输入字符串划分为 $ \tilde{O}(n) $ 个块，每块大小为 $ \tilde{O}(n) $，以支持高效的局部计算。
• 将字符串上的打乱模式匹配问题归约为计算 $ n \times n $ 矩阵的最小-加法乘积，其中最小-加法运算替代了标准矩阵乘法。
• 通过将树分解为微树和宏树，实现从树上打乱模式匹配到字符串上打乱模式匹配的黑箱归约。
• 将树进行微-宏分解，得到 $ O(n/r) $ 个大小不超过 $ r $ 的微树，边界节点用于连接各微树。
• 在每个微树中使用简单的 $ O(r^2) $ 算法计算子串中的最大和最小1的个数。
• 在宏树上自底向上合并结果，通过边界节点和相邻子树连接形成的串联字符串，递归应用字符串算法求解打乱模式匹配问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用先进的矩阵乘法技术，使字符串上的二值打乱模式匹配时间复杂度快于 $ O(n^2 / \log^2 n) $？
• RQ2 是否存在一种方法，能将基于树的打乱模式匹配归约为基于字符串的打乱模式匹配，同时保持效率？
• RQ3 最小-加法矩阵乘法的性能如何影响打乱模式匹配的整体时间复杂度？
• RQ4 能否利用威廉姆斯近期在最小-加法矩阵乘法方面的成果，将 $ O(n^2 / \log^2 n) $ 的时间界限进一步改进至超越多对数因子？
• RQ5 在相同的归约框架下，加权字符串和树上的最大子段和问题的时间复杂度是多少？

主要发现

• 本文在字符串和树上均实现了 $ O(n^2 / 2^{\text{polylog}(n)}) $ 时间复杂度的二值打乱模式匹配算法，优于此前的 $ O(n^2 / \log^2 n) $ 时间界限。
• 该改进源于将问题归约为最小-加法矩阵乘法，并应用威廉姆斯提出的 $ n^3 / 2^{\text{polylog}(n)} $ 最小-加法乘积算法。
• 对于树，该算法在任意 $ r $ 下的时间复杂度为 $ O(nr + n^2 / \ell(\sqrt{r})) $，当选择 $ r = \sqrt{n} $ 时，可达到与字符串相同的 $ n^2 / 2^{\text{polylog}(n)} $ 时间界限。
• 该结果可推广至加权字符串和树上的最大子段和问题，其中每个字符或节点具有任意权重，目标是计算任意子串或连通子图（大小为 $ i $）的最大权重。
• 该算法为随机化算法，但可被去随机化，仅损失一个较小的常数因子，时间复杂度为 $ O(n^3 / 2^{\text{polylog}(n)}) $。
• 该框架表明，未来若全源最短路径（APSP）能实现 $ O(n^{3-\varepsilon}) $ 的时间复杂度，则字符串上的时间复杂度可提升至 $ O(n^{2-\varepsilon/2}) $，树上的时间复杂度可达到 $ O(n^{2-\varepsilon'}) $，其中 $ \varepsilon' \approx \varepsilon/2 $；尽管通过递归优化微树计算可进一步缩小这一差距。