[论文解读] Binary Locally Repairable Codes ---Sequential Repair for Multiple Erasures

Wentu Song, Chau Yuen|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一类二元局部可修复码（LRC），其构造方式为将 $ m $ 个 $[r+1,r]$ 单奇偶校验码的直积。这些码能够实现高达 $ 2^m - 1 $ 个删除的顺序修复，且局部性为 $ r $，在删除容忍度方面显著优于并行修复方法，同时保持较高的码率，证明了顺序修复在分布式存储系统中的优越性。

ABSTRACT

Locally repairable codes (LRC) for distribute storage allow two approaches to locally repair multiple failed nodes: 1) parallel approach, by which each newcomer access a set of $r$ live nodes $(r$ is the repair locality$)$ to download data and recover the lost packet; and 2) sequential approach, by which the newcomers are properly ordered and each newcomer access a set of $r$ other nodes, which can be either a live node or a newcomer ordered before it. An $[n,k]$ linear code with locality $r$ and allows local repair for up to $t$ failed nodes by sequential approach is called an $(n,k,r,t)$-exact locally repairable code (ELRC). In this paper, we present a family of binary codes which is equivalent to the direct product of $m$ copies of the $[r+1,r]$ single-parity-check code. We prove that such codes are $(n,k,r,t)$-ELRC with $n=(r+1)^m,k=r^m$ and $t=2^m-1$, which implies that they permit local repair for up to $2^m-1$ erasures by sequential approach. Our result shows that the sequential approach has much bigger advantage than parallel approach.

研究动机与目标

• 研究顺序修复在局部可修复码（LRC）中处理分布式存储系统中多个节点失效的潜力。
• 构造一种二元 LRC，支持使用顺序修复策略对高达 $ t = 2^m - 1 $ 个删除进行精确修复，而非传统的并行修复。
• 证明 $ m $ 个 $[r+1,r]$ 单奇偶校验码的直积构成一个 $(n,k,r,t)$-精确局部可修复码（ELRC），其中 $ n = (r+1)^m $，$ k = r^m $，且 $ t = 2^m - 1 $。
• 建立该构造实现最优码率，并显著优于基于并行修复的现有 LRC 子类的删除容忍度。

提出的方法

• 将码构造为 $ m $ 个 $[r+1,r]$ 单奇偶校验码的直积，得到长度为 $ n = (r+1)^m $、维度为 $ k = r^m $ 的二元线性码。
• 为 $ eta eq 0 $ 的每个坐标 $ eta $ 定义修复集 $ L^{(i)}_eta $，其中 $ eta^{(i)} $ 是 $ eta $ 的第 $ i $ 个坐标，形成大小为 $ r $ 的局部修复集。
• 通过关于 $ m $ 的递归归纳法证明：对于任意大小不超过 $ 2^m - 1 $ 的删除坐标集合 $ E $，存在一个坐标 $ eta \notin E $，使得其修复集 $ R \setminus \{\beta\} $ 与 $ E $ 无交集，从而确保顺序修复的可行性。
• 利用产品码的结构和 $[r+1,r]$ 码的性质，确保每个码符号拥有 $ m $ 个大小为 $ r $ 的不相交修复集，从而实现高可用性和顺序修复。
• 通过证明：对于任意大小不超过 $ 2^m - 1 $ 的子集 $ E $，存在一个 $ \beta \notin E $，其所有修复集成员均不在 $ E $ 中，从而证明该码是一个 $ (n,k,r,t) $-ELRC，且 $ t = 2^m - 1 $。
• 应用引理 8 证明：若存在一个符号 $ \beta \notin E $，其修复集完全位于 $ E $ 的补集中，则该码支持高达 $ t = 2^m - 1 $ 个删除的顺序修复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在局部可修复码中，顺序修复策略是否能够支持远多于并行修复方法的删除数量？

主要发现

• $ m $ 个 $[r+1,r]$ 单奇偶校验码的直积构成一个二元线性码，其参数为 $ n = (r+1)^m $，$ k = r^m $，且局部性为 $ r $。
• 该码是一个 $ (n,k,r,t) $-精确局部可修复码（ELRC），其中 $ t = 2^m - 1 $，支持高达 $ 2^m - 1 $ 个删除的顺序修复。
• 该码实现最优码率 $ \frac{k}{n} = \frac{r^m}{(r+1)^m} $，高于基于并行修复的 LRC 子类（如 $ (r,t) $-CLRC 或可用性码）已知的界限。
• 顺序修复策略允许仅使用每个新节点 $ r $ 个辅助节点，即可修复高达 $ 2^m - 1 $ 个删除，即使多个节点同时失效，只要合理安排修复顺序即可实现。
• 该构造表明，顺序修复可实现远高于并行修复的删除容忍度，后者受限于 $ t $ 个互不相交的修复集，最多支持 $ t $ 个删除。
• 证明依赖于在乘积空间 $ \bbZ_{r+1}^m $ 上的归纳论证，表明对于任意大小不超过 $ 2^m - 1 $ 的集合 $ E $，存在一个符号 $ \beta \notin E $，其修复集完全包含于 $ E $ 的补集中。