[论文解读] Binary Matroids and Quantum Probability Distributions

Dan Shepherd|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 10

一句话总结

本文利用二元拟阵和线性码表征由可交换量子线路（IQP/X-线路）生成的概率分布，表明当底层拟阵结构简单时——特别是测量的量子比特数量为系统规模的对数级别时，其相关系数和边缘分布可被高效经典模拟。关键贡献在于建立了量子线路模拟与二元拟阵组合不变量之间的联系，从而在特定结构条件下实现高效经典采样。

ABSTRACT

We characterise the probability distributions that arise from quantum circuits all of whose gates commute, and show when these distributions can be classically simulated efficiently. We consider also marginal distributions and the computation of correlation coefficients, and draw connections between the simulation of stabiliser circuits and the combinatorics of representable matroids, as developed in the 1990s.

研究动机与目标

• 表征由完全由可交换门组成的量子线路生成的概率分布，特别是IQP线路。
• 确定这些分布何时可被经典计算机高效模拟。
• 建立稳定子线路模拟与可表示二元拟阵组合学之间的正式联系。
• 利用拟阵理论工具分析此类量子线路中的边缘分布和相关系数。
• 识别出由于高效经典可模拟性而导致量子优势丧失的结构条件。

提出的方法

• 本文在 𝔽₂ 上使用二元矩阵对IQP线路进行建模，将其与二元线性码及可表示二元拟阵相关联。
• 利用码与拟阵之间的同构关系，将量子线路的性质转化为拟阵的组合不变量。
• 通过双重空间上的期望以及子码中码字权重的余弦变换来计算相关系数。
• 通过投影算子将完整分布投影到子空间上，并利用拟阵的秩函数结构推导边缘分布。
• 构建了一个多项式时间算法，用于计算最多一个划分中包含两个顶点的二分图的Tutte多项式，从而实现概率的高效计算。
• 对于小规模测量集合（|m| = O(log n)），通过在多项式数量的条件分布上进行均匀平均，实现了精确的经典采样。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可交换量子线路的输出概率分布可被经典计算机高效模拟？
• RQ2 在电路矩阵表示中，何种组合结构决定了其输出分布的可模拟性？
• RQ3 此类量子线路中的相关系数如何与底层拟阵不变量相关联？
• RQ4 在何种条件下，对一组量子比特的边缘分布仍可被高效模拟？
• RQ5 通过利用与电路相关的二元拟阵结构，能否降低模拟复杂度？

主要发现

• IQP线路的概率分布完全由其线路矩阵所关联的二元拟阵决定，结果与对应线性码中码字权重相关。
• 相关系数可表示为涉及码字权重余弦函数的期望，当拟阵具有低秩结构时可导出闭式表达式。
• 当测量的量子比特数量为 O(log n) 时，可通过在多项式数量的条件分布上进行平均，在多项式时间内精确实现经典边缘分布模拟。
• 模拟效率依赖于能够计算一类受限二分图（其中一部分顶点数 ≤2）的Tutte多项式，该问题存在多项式时间算法。
• 本文建立了稳定子线路经典可模拟性与Vertigan计算二元拟阵Tutte多项式的算法之间的直接联系。
• 结果表明，当底层拟阵结构足够简单时，即使电路本身非平凡，此类线路的采样中量子优势也会因高效经典可模拟性而丧失。