[论文解读] Binary, Shortened Projective Reed Muller Codes for Coded Private Information Retrieval

Myna Vajha, Vinayak Ramkumar+1 more|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Feb 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出二元化、缩短的投影式里德-默勒（PRM）码，作为 $τ = 3,4$ 时的最优系统化 PIR 码，通过齐次多项式求值与码的缩短技术，实现最小存储开销。该构造得到的码块长度达到新下界，且对于 $τ = 3,4$，还可实现最优的原语多集批处理码。结果在效率与存储开销方面优于现有 PIR 码构造。

ABSTRACT

The notion of a Private Information Retrieval (PIR) code was recently introduced by Fazeli, Vardy and Yaakobi who showed that this class of codes permit PIR at reduced levels of storage overhead in comparison with replicated-server PIR. In the present paper, the construction of an $(n,k)$ $τ$-server binary, linear PIR code having parameters $n = \sum\limits_{i = 0}^{\ell} {m \choose i}$, $k = {m \choose \ell}$ and $τ= 2^{\ell}$ is presented. These codes are obtained through homogeneous-polynomial evaluation and correspond to the binary, Projective Reed Muller (PRM) code. The construction can be extended to yield PIR codes for any $τ$ of the form $2^{\ell}$, $2^{\ell}-1$ and any value of $k$, through a combination of single-symbol puncturing and shortening of the PRM code. Each of these code constructions above, have smaller storage overhead in comparison with other PIR codes appearing in the literature. For the particular case of $τ=3,4$, we show that the codes constructed here are optimal, systematic PIR codes by providing an improved lower bound on the block length $n(k, τ)$ of a systematic PIR code. It follows from a result by Vardy and Yaakobi, that these codes also yield optimal, systematic primitive multi-set $(n, k, τ)_B$ batch codes for $τ=3,4$. The PIR code constructions presented here also yield upper bounds on the generalized Hamming weights of binary PRM codes.

研究动机与目标

• 设计用于复制服务器 PIR 系统的系统化 PIR 码，实现最小存储开销。
• 通过 PRM 码的缩短与删减，构造 $τ = 2^\ell, 2^\ell - 1$ 时的 PIR 码。
• 建立系统化 PIR 码码块长度 $n(k,\tau)$ 的新下界，并证明 $\tau = 3,4$ 时的最优性。
• 证明所构造的 PIR 码可产生 $\tau = 3,4$ 时的最优原语多集批处理码。
• 利用 PIR 码构造，推导二元 PRM 码广义汉明权重的上界。

提出的方法

• 利用参数为 $n = \sum_{i=0}^{\ell} \binom{m}{i}$、$k = \binom{m}{\ell}$、$\tau = 2^\ell$ 的二元投影式里德-默勒（PRM）码，通过齐次多项式求值构造 PIR 码。
• 对于任意 $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$，通过单符号删减与码缩短扩展构造，实现所需的 $k$ 与 $\tau$。
• 关键技术洞见在于利用校验矩阵生成元的逐分量乘积，证明每个消息符号均位于校验部分平方的张量积张成空间中，从而导出码块长度的下界。
• 推导出码块长度的新下界：$n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$，该下界在 $\tau = 3,4$ 时与上界一致。
• 通过构造 $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 码，实现最优的 $n(k,4)$，其删减版本实现最优的 $n(k,3)$，从而证明 $\tau = 3,4$ 时的最优性。
• 证明依赖于：消息符号可通过由系统部分与校验部分构成的不相交恢复集恢复，从而保证响应的隐私性与线性性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过系统化缩短与删减二元 PRM 码，为 $\tau = 2^\ell, 2^\ell - 1$ 构造出存储开销更低的 PIR 码？
• RQ2 系统化 PIR 码的最小可实现码块长度 $n(k,\tau)$ 是多少？能否通过显式构造实现该下界？
• RQ3 所构造的 PIR 码在 $\tau = 3,4$ 时是否最优？是否达到码块长度的理论下界？
• RQ4 这些 PIR 码能否用于构造 $\tau = 3,4$ 时的最优原语多集批处理码？
• RQ5 能否利用 PIR 构造推导出二元 PRM 码广义汉明权重的上界？

主要发现

• 对于 $\tau = 3,4$，所构造的 PIR 码达到最小可能的码块长度 $n(k,\tau)$，与新下界 $n(k,\tau) \geq k + \left\lceil \frac{\sqrt{8k+1}+1}{2} \right\rceil + \tau - 3$ 一致，证明其最优性。
• $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 码构造实现了 $\tau = 4$ 时的最优系统化 PIR 码，码块长度 $n = k + m + 1$，维度 $k = \binom{m}{2} - \gamma$。
• 将 $\text{SPRM}(m-2,m-1,\gamma)$ 码在单个校验符号处删减，可得到 $\tau = 3$ 时的最优 PIR 码，码块长度 $n = k + m$。
• 这些最优 PIR 码同时可产生 $\tau = 3,4$ 时的最优原语多集批处理码，如文献 [2] 所示。
• 该构造为二元 PRM 码的广义汉明权重提供了上界，其推导基于 PIR 码中不相交恢复集的结构。
• 所提码的码块长度 $n_1$ 在 $k \leq 32$ 且 $\tau = 3,4,8,16$ 时，与 [1] 中已知最佳码相比，达到或优于其性能，如表 II 所示。