[论文解读] Binary strings of length $n$ with $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros

Monimala Nej, A. Satyanarayana Reddy|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文推导出 $ F_n(x,k) $ 的递推关系，即长度为 $ n $、包含 $ x $ 个零且最长连续零段长度为 $ k $ 的二进制字符串的数量，并展示了如何通过 $ F_n(x,k) $ 表示斐波那契数列、卡塔兰数列和三角数列等已知数列。此外，研究进一步扩展至回文二进制字符串，建立了 $ n+1 $ 的整数 compositions 中最大部分为 $ k+1 $ 与这类字符串之间的一一对应关系，并给出了回文划分的显式公式。

ABSTRACT

In this paper, we study $F_{n}(x,k)$, the number of binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and a longest subword of $k$ zeros. A recurrence relation for $F_{n}(x,k)$ is derived. We expressed few known numbers like Fibonacci, triangular, number of binary strings of length $n$ without $r$-runs of ones and number of compositions of $n+1$ with largest summand $k+1$ in terms of $F_{n}(x,k).$ Similar results and applications were obtained for F$_{n}(x,k),$ the number of all palindromic binary strings of length $n$ containing $x$ zeros and longest $k$-runs of zeros.

研究动机与目标

• 推导 $ F_n(x,k) $ 的递推关系，即长度为 $ n $、含 $ x $ 个零且最长连续零段长度为 $ k $ 的二进制字符串的数量。
• 通过 $ F_n(x,k) $ 表示著名的整数数列（如斐波那契数列、卡塔兰数列、三角数列和长方形数列）。
• 将分析扩展至回文二进制字符串，定义 $ \hat{F}_n(x,k) $，即含 $ x $ 个零且最长零段长度为 $ k $ 的回文字符串的数量。
• 建立 $ n+1 $ 的整数 compositions 中最大部分为 $ k+1 $ 与 $ B_n^{x,k} $ 之间的一一对应关系，并推导出回文分拆的公式。

提出的方法

• 基于 $ n $ 和 $ k $ 对 $ x $ 的上下界，结合向下取整函数与整除性条件，推导出 $ F_n(x,k) > 0 $ 的充要条件。
• 提出 $ F_n(x,k) $ 的递推公式，实现对指定零数与最大零段长度的二进制字符串数量的系统化计算。
• 通过组合构造方法，从 $ k $ 个零后接 1 的块构建有效字符串，确保不出现长度为 $ k+1 $ 的零段。
• 建立 $ n+1 $ 的整数 compositions 中最大部分为 $ k+1 $ 与 $ B_n^{x,k} $ 中的二进制字符串之间的一一对应关系，将字符串结构与整数分拆联系起来。
• 引入 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $，即与 $ \hat{F}_n(x,k) $ 对应的 $ n+1 $ 的回文分拆数量，并在不同奇偶性与整除性条件下推导出 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ 的闭式表达式。
• 应用生成函数与分拆理论技术，推导 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ 的公式，根据 $ x $、$ k $ 和 $ n $ 的奇偶性区分不同情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地计算长度为 $ n $、含 $ x $ 个零且最长连续零段长度为 $ k $ 的二进制字符串的数量？
• RQ2 哪些经典整数数列（如斐波那契数列、卡塔兰数列、三角数列）能用 $ F_n(x,k) $ 表示？
• RQ3 $ F_n(x,k) > 0 $ 的精确条件是什么？该条件如何限制给定 $ n $ 和 $ k $ 时 $ x $ 的可能取值？
• RQ4 含 $ x $ 个零且最长零段长度为 $ k $ 的回文二进制字符串的结构如何与整数分拆和分拆关系对应？
• RQ5 能否为与 $ \hat{F}_n(x,k) $ 对应的 $ n+1 $ 的最大部分为 $ k+1 $ 的回文分拆数量推导出闭式公式？

主要发现

• 本文证明 $ F_n(x,k) > 0 $ 当且仅当 $ k \nmid x $ 时满足 $ x + \lfloor x/k \rfloor \leq n $，而当 $ k \mid x $ 时满足 $ x + \frac{x}{k} - 1 \leq n $，为给定 $ n $ 和 $ k $ 时 $ x $ 的取值提供了精确约束。
• 满足 $ F_n(x,k) > 0 $ 的 $ (x,k) $ 对的数量为 $ |S_n| = \binom{n+2}{2} - \sum_{i=0}^n \left\lfloor \frac{n}{i+1} \right\rfloor $，提供了可行配置组合数的组合解释。
• 最大部分为 $ k+1 $ 的 $ n+1 $ 的整数 compositions 数量与 $ B_n^{x,k} $ 之间存在一一对应关系，且通过字符串块分解方法显式构造了该对应。
• 对于回文二进制字符串，$ \hat{P}_{n+1}(x,k) $ 的闭式表达式为：当 $ x $ 为奇数时，$ \hat{P}_{2n+2}(x,k) = \sum_{i=0}^{\lfloor k/2 \rfloor - 1} P_{n-i}\left(\frac{x-2i-1}{2}, k\right) + \sum_{j=0}^k P_{\frac{2n-k+1}{2}}\left(\frac{x-k}{2}, j\right) $，偶数 $ x $ 时有类似公式。
• 特定情形下可得精确计数：例如 $ \hat{P}_{n+1}(x,x) = \hat{P}_{n+1}(x,1) = 1 $，且 $ \hat{P}_{2n+2}(x,2) $ 在 $ i < \lfloor x/4 \rfloor - 1 $ 时为 $ i+1 $，否则为 $ \lfloor x/4 \rfloor $，具体取决于 $ 00 $ 块的数量。
• 当 $ k \mid x $ 且 $ n = x + \frac{x}{k} - 1 $ 时，有 $ \hat{P}_{n+1}(x,k) = 1 $，表明此类情况下存在唯一的回文分拆。