[论文解读] Binary words avoiding a pattern and marked succession rule

Stefano Bilotta, Donatella Merlini+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文利用Riordan阵列，通过代数方法对避免模式 $1^{j+1}0^j$（$j \geq 1$）的二进制词按1的个数进行计数。提出一种新颖的“跳跃与标记继承规则”来描述其增长过程，并通过设计一种算法，构造出具有固定1个数的二进制词，同时过滤掉包含禁止模式的词，从而解决该规则的不可逆性问题。

ABSTRACT

In this paper we study the enumeration and the construction of particular binary words avoiding the pattern $1^{j+1}0^j$. By means of the theory of Riordan arrays, we solve the enumeration problem and we give a particular succession rule, called jumping and marked succession rule, which describes the growth of such words according to their number of ones. Moreover, the problem of associating a word to a path in the generating tree obtained by the succession rule is solved by introducing an algorithm which constructs all binary words and then kills those containing the forbidden pattern.

研究动机与目标

• 根据1的个数对避免特定模式 $1^{j+1}0^j$ 的二进制词进行计数。
• 利用继承规则构建组合框架，以建模此类词在生成树各层级上的增长过程。
• 通过引入一种构造性算法，解决生成树中路径关联不唯一的问题。
• 将该方法推广至形式为 $1^j0^i$ 且满足 $0 < i < j$ 的禁止模式，并探讨多模式与多字母表情形。

提出的方法

• 采用基于恰当Riordan阵列的代数技术，解决避免 $1^{j+1}0^j$ 的二进制词的计数问题。
• 引入一种“跳跃与标记继承规则”，允许后代在不同层级生成，且标签可被标记或未标记。
• 构建一个生成树，其中Riordan阵列的每一行对应一个层级，标签表示词中1的个数。
• 设计一种算法，生成所有具有固定1个数的二进制词，并剔除包含禁止模式 $1^{j+1}0^j$ 的词。
• 使用类似Dyck路径的路径表示来建模禁止模式，并通过剪切-粘贴操作定义“杀除路径”。
• 将继承规则的生成过程映射到路径，通过算法过滤过程，为每个词唯一地关联到生成树中的一条路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用代数方法根据1的个数对避免模式 $1^{j+1}0^j$ 的二进制词进行计数？
• RQ2 能否定义一种继承规则，以捕捉此类词在多层级上的增长过程，并支持标记标签？
• RQ3 为何无法通过继承规则生成的生成树，将词唯一地关联到某条路径？
• RQ4 何种算法方法可实现所有具有固定1个数的有效二进制词的构造，同时排除包含禁止模式的词？
• RQ5 该框架如何推广至其他禁止模式，如 $1^j0^i$（其中 $0 < i < j$）？

主要发现

• 利用恰当Riordan阵列，对避免 $1^{j+1}0^j$ 的二进制词进行代数计数，建立了阵列条目与按1的个数统计的此类词数之间的直接联系。
• 构建了一种跳跃与标记继承规则，描述了这些词在生成树不同层级上的增长过程，标记标签用于处理结构上的歧义。
• 由于标签在不同层级间映射不唯一，该继承规则无法将词唯一地关联到生成树中的一条路径。
• 提出一种算法，可构造所有具有固定1个数的二进制词，并过滤掉包含禁止模式 $1^{j+1}0^j$ 的词，从而解决路径关联问题。
• 对于无效词集合中的每个词 $\omega$，存在唯一对应的词 $\omega'$，其上升步数和禁止模式相同，仅在最后一个禁止模式的标记上不同。
• 杀除过程由路径结构和规则生成式唯一确定，确保了无效词与其标记对应词之间的一一对应关系。