[论文解读] Binary words avoiding xx^Rx and strongly unimodal sequences

James D. Currie, Narad Rampersad|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

semigroups and automata theory参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过构建此类单词与一类与强单峰序列密切相关之整数序列之间的双射，确立了避免模式 $xx^R x$ 的二进制单词数量以介于多项式与指数增长之间的速率增长。关键贡献在于利用生成函数与渐近分析，精确刻画了增长速率，给出了明确的界限，并与分拆理论建立了联系。

ABSTRACT

In previous work, Currie and Rampersad showed that the growth of the number of binary words avoiding the pattern xxx^R was intermediate between polynomial and exponential. We now show that the same holds for the growth of the number of binary words avoiding the pattern xx^Rx. Curiously, the analysis for xx^Rx is much simpler than that for xxx^R. We derive our results by giving a bijection between the set of binary words avoiding xx^Rx and a class of sequences closely related to the class of "strongly unimodal sequences."

研究动机与目标

• 刻画避免模式 $xx^R x$（其中 $x^R$ 表示 $x$ 的反转）的二进制单词的增长速率。
• 建立此类单词与一类与强单峰序列相关的整数序列之间的直接联系。
• 对避免 $xx^R x$ 的二进制单词语言提供完整的组合刻画。
• 通过基于奥根登引理的直接证明，展示该语言不是上下文无关语言。
• 将该语言的增长速率与先前研究的避免 $xxx^R$ 的语言的增长速率进行比较。

提出的方法

• 将避免 $xx^R x$ 的二进制单词按段 $A_i$、$a_i$ 和 $a_i A_i a_{i+1}$ 进行分解，从而导出编码长度的序列 $f(w) = (n_0, \dots, n_k)$。
• 引入类型1（严格单峰）与类型2（带平台）整数序列的集合 $X$，其定义为：不存在满足 $n_{j-1} \geq n_j$ 且 $n_j \leq n_{j+1}$ 的索引 $j$。
• 通过映射 $f$，在长度为 $n$ 的 $L_0$（以0开头）中的单词与权重为 $n$ 的 $X$ 中的序列之间建立一一对应关系。
• 使用生成函数：$X$ 中序列的生成函数与 $\prod_{j=1}^\infty (1 + q^j)^2$ 相关，后者用于计数具有重数的互异部分的分拆。
• 通过调整类型1序列（被重复计数）与类型2序列（被少计一半）来校正生成函数中的过计数，从而对 $v(n)$ 建立界限。
• 应用奥根登引理，通过将其约化为 $a^i b^j c^k d^\ell$ 上满足特定不等式的非上下文无关语言，证明语言 $L$ 不是上下文无关语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 避免模式 $xx^R x$ 的二进制单词数量的增长速率是多少？
• RQ2 能否在避免 $xx^R x$ 的二进制单词与一类整数序列之间建立双射？
• RQ3 避免 $xx^R x$ 的单词的增长速率与避免 $xxx^R$ 的单词的增长速率相比如何？
• RQ4 避免 $xx^R x$ 的二进制单词语言是否是上下文无关语言？
• RQ5 此类单词数量的渐近行为如何随长度 $n$ 变化？

主要发现

• 长度为 $n$ 的避免 $xx^R x$ 的二进制单词数量 $c(n)$ 满足 $\tilde{u}(n) \leq c(n) \leq 2\tilde{u}(n)$，其中 $\tilde{u}(n)$ 为 $X$ 中权重为 $n$ 的整数序列数量。
• 序列 $\tilde{u}(n)$ 的渐近增长为 $\tilde{u}(n) = \frac{\sqrt{3}}{(24n-1)^{3/4}} \exp\left(\frac{\pi}{6}\sqrt{24n-1}\right)\left(1 + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)$，确认了其为中间增长。
• 避免 $xx^R x$ 的二进制单词语言 $L$ 不是上下文无关语言，且该结论通过奥根登引理的直接证明得以确立，其证明过程通过约化为 $a^i b^j c^k d^\ell$ 上的非上下文无关语言完成。
• 避免 $xx^R x$ 的单词数量的增长速度显著快于避免 $xxx^R$ 的单词数量，后者先前估计的增长速率为 $e^{\log^2 n}$。
• 序列 $c(n)$ 为 OEIS 中的序列 A261204，$\tilde{u}(n)$ 为序列 A022567，且为 $n$ 从 0 到 12 的值提供了明确数值。
• 通过案例分析证明了 $L_0$ 与 $X$ 中序列之间的双射：$f(w) \notin X$ 当且仅当 $w$ 包含 $xx^R x$ 的实例。