[论文解读] Binomial Thue equations and power integral bases in pure quartic fields

István Gaál, László Remete|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 11

一句话总结

本文通过将指标形式方程约化为形如 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 的四次二项式丢番图方程，解决了纯四次域 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ 中幂整基的存在性与计算问题。利用先进的数论方法与高性能计算，作者证明：当 $m < -1$ 时，仅 $\alpha = \sqrt[4]{m}$ 在等价意义下生成幂整基；当 $m > 1$ 且 $m < 10^7$ 时，他们计算了所有系数小于 $10^{1000}$ 的生成元，并识别出特定族中解的完全刻画。

ABSTRACT

It is a classical problem in algebraic number theory to decide if a number field admits power integral bases and further to calculate all generators of power integral bases. This problem is especially delicate to consider in an infinite parametric family of number fields. In the present paper we investigate power integral bases in the infinite parametric family of pure quartic fields $K=Q(\sqrt[4]{m})$. We often pointed out close connection of various types of Thue equations with calculating power integral bases. In this paper we determine power integral bases in pure quartic fields by reducing the corresponding index form equation to quartic binomial Thue equations. We apply recent results on the solutions of binomial Thue equations of type $a^4-mb^4=\pm 1\; ({ m in}\; a,b\in Z)$ as well as we perform an extensive calculation by a high performance computer to determine "small" solutions (with $\max(|a|,|b|)&lt;10^{500}$) of binomial Thue equations for $m&lt;10^7$. Using these results on binomial Thue equations we characterize power integral bases in infinite subfamilies of pure quartic fields. For $1&lt; m&lt; 10^7$ we give all generators of power integral bases with coefficients $&lt;10^{1000}$ in the integral basis.

研究动机与目标

• 确定纯四次域 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ 是否存在幂整基，这是代数数论中的一个经典问题。
• 计算纯四次域无限参数族中所有幂整基的生成元。
• 将纯四次域中幂整基的指标形式方程约化为形如 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 的四次二项式丢番图方程。
• 利用近期关于丢番图方程的研究成果与高性能计算，求解 $m < 10^7$ 且 $\max(|a|,|b|) < 10^{500}$ 时的这些方程。
• 表征幂整基完全确定的纯四次域的无限子族。

提出的方法

• 通过变量代换 $x = a^2$，$z = b^2$，$y = \pm ab$，将问题约化为求解指标形式方程，进而转化为二项式丢番图方程 $a^4 - m b^4 = \pm 1$。
• 作者利用关于 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 可解性的已知结果，对特定 $m$ 的族（如 $m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$）进行解的刻画。
• 在匈牙利的超级计算机网络上执行了大规模计算搜索，采用 Pethő 方法，并在 Maple 中实现 1200 位高精度计算。
• 对所有 $m < 10^7$ 且 $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$ 的情况计算了解，覆盖了近 $10^7$ 个方程。
• 计算在若干计算节点上并行执行，将单节点总运行时间从约 120 小时缩短至仅数小时。
• 利用求得的解重构所有在等价意义下的幂整基生成元 $\vartheta = x\alpha + y\alpha^2 + z\alpha^3$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些 $m$ 值，纯四次域 $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{m})$ 存在幂整基？
• RQ2 如何将纯四次域中幂整基的指标形式方程约化为可解形式，特别是二项式丢番图方程？
• RQ3 对于 $m < 10^7$ 且系数小于 $10^{1000}$ 的纯四次域，幂整基的完整生成元集合是什么？
• RQ4 是否存在无限多组 $m$，使得二项式丢番图方程 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 的解集可完全显式刻画？
• RQ5 对于极大界值（如 $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$）时，求解此类丢番图方程在计算上是否可行？

主要发现

• 当 $m < -1$ 且 $m$ 为无平方因子数且 $m \equiv 2,3 \pmod{4}$ 时，幂整基的唯一生成元（在等价意义下）为 $\alpha = \sqrt[4]{m}$。
• 当 $m > 1$ 且其素因子个数不超过两个且均 $\leq 29$ 时，唯一生成元为 $\vartheta = \alpha$；当 $m = 15$ 时，$\vartheta = 4\alpha \pm 2\alpha^2 + \alpha^3$；当 $m = 39$ 时，$\vartheta = 25\alpha \pm 10\alpha^2 + 4\alpha^3$。
• 当 $m = \frac{(s^4 t \pm 1)^4 - 1}{s^4}$ 且 $s,t \in \mathbb{Z}^+$ 时，唯一生成元为 $\vartheta = \alpha$ 和 $\vartheta = (s^4 t \pm 1)^2 \alpha \pm (s^4 t \pm 1)s \alpha^2 + s^2 \alpha^3$。
• 对所有满足 $\max(|a|, |b|) < 10^{500}$ 的 $m < 10^7$，系统性地搜索了 $a^4 - m b^4 = \pm 1$ 的解，共获得超过 10,000 个解，覆盖近 $10^7$ 个方程。
• 计算在高性能超级计算机网络上执行，单节点总运行时间约为 120 小时，通过并行化处理缩短至数小时。
• 对于 $1 < m < 10^7$ 且系数小于 $10^{1000}$ 的所有幂整基生成元，均已通过丢番图方程的解集完全确定。