[论文解读] Bipartite Ramsey numbers of large cycles

Shaoqiang Liu, Yuejian Peng|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文在各種著色條件下，為大規模偶數環的二分Ramsey數建立了漸近緊緻界。結果顯示，對於 $ r \geq 2 $，二分Ramsey數 $ br(C_{2\lfloor \alpha_1 n \rfloor}, \dots, C_{2\lfloor \alpha_r n \rfloor}) $ 漸近為 $ (\sum \alpha_i + o(1))n $，並透過極值圖論與基於正則性的論證，明確的度條件可確保多著色下的單色環存在。

ABSTRACT

For an integer $r\geq 2$ and bipartite graphs $H_i$, where $1\leq i\leq r$, the bipartite Ramsey number $br(H_1,H_2,\ldots,H_r)$ is the minimum integer $N$ such that any $r$-edge coloring of the complete bipartite graph $K_{N,N}$ contains a monochromatic subgraph isomorphic to $H_i$ in color $i$ for some $i$, $1\leq i\leq r$. We show that for $α_1,α_2>0$, $br(C_{2\lfloor α_1 n floor},C_{2\lfloor α_2 n floor})=(α_1+α_2+o(1))n$. We also show that if $r\geq 3, α_1,α_2>0, α_{j+2}\geq [(j+2)!-1]\sum^{j+1}_{i=1} α_i$ for $j=1,2,\ldots,r-2$, then $br(C_{2\lfloor α_1 n floor},C_{2\lfloor α_2 n floor},\ldots,C_{2\lfloor α_r n floor})=(\sum^r_{j=1} α_j+o(1))n.$ For $ξ>0$ and sufficiently large $n$, let $G$ be a bipartite graph with bipartition $\{V_1,V_2\}$, $|V_1|=|V_2|=N$, where $N=(2+8ξ)n$. We prove that if $δ(G)>(\frac{7}{8}+9ξ)N$, then any $2$-edge coloring of $G$ contains a monochromatic copy of $C_{2n}$.

研究动机与目标

• 確立多個大規模偶數環在多著色邊著色下的二分Ramsey數的漸近行為。
• 在 $ n \to \infty $ 時，對 $ br(C_{2\\lfloor \\alpha_1 n \\rfloor}, \\dots, C_{2\\lfloor \\alpha_r n \\rfloor}) $ 建立緊緻的上下界。
• 識別在平衡二分圖中，能保證在二著色下出現單色偶數環的最小最小度閾值。
• 探討在偶數環的Ramsey-Turán型問題中，$ c = \frac{7}{8} $ 界的緊緻性。
• 透過結構與正則性基礎論證，解決密集二分圖中單色環包含的極值閾值問題。

提出的方法

• 利用正則性引理與稀疏正則性技術，分析高最小度的邊著色二分圖。
• 應用分解論證，將頂點集劃分為結構化部分（例如 $ C, S, T, U $），以控制鄰域擴張。
• 在選取頂點集所誘導的子圖中，使用連通匹配構造來嵌入大型環。
• 使用度條件 $ \delta(G) > (\frac{7}{8} + 9\xi)N $，以確保足夠的連通性與邊密度，進而支持環的包含。
• 應用極值構造（例如 $ \widetilde{H} $）來展示所需最小度 $ c $ 的下界，顯示 $ c \geq \frac{3}{4} $。
• 推導循環大小的遞迴不等式 $ \alpha_{j+2} \geq [(j+2)! - 1] \sum_{i=1}^{j+1} \alpha_i $，以確保多著色Ramsey閾值成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 $ n \to \infty $ 時，二分Ramsey數 $ br(C_{2\lfloor \alpha_1 n \rfloor}, C_{2\lfloor \alpha_2 n \rfloor}) $ 的漸近值為何？
• RQ2 當 $ r \geq 3 $ 時，若環大小隨 $ n $ 線性增長，二分Ramsey數如何隨之變化？
• RQ3 最小最小度閾值 $ c $ 為何，使得任何 $ 2 $-邊著色的二分圖 $ G $ 滿足 $ \delta(G) \geq cN $ 時，必包含單色 $ C_{2n} $？
• RQ4 是否可改進 $ c = \frac{7}{8} $ 的界？抑或 $ c = \frac{3}{4} $ 才是單色環包含的真正閾值？
• RQ5 在邊著色與度分佈的何種結構條件下，二分圖中會出現大型單色環？

主要发现

• 對於 $ \alpha_1, \alpha_2 > 0 $，有 $ br(C_{2\lfloor \alpha_1 n \rfloor}, C_{2\lfloor \alpha_2 n \rfloor}) = (\alpha_1 + \alpha_2 + o(1))n $，確立了緊緻的漸近增長。
• 對於 $ r \geq 3 $，在條件 $ \alpha_{j+2} \geq [(j+2)! - 1] \sum_{i=1}^{j+1} \alpha_i $ 下，有 $ br(C_{2\lfloor \alpha_1 n \rfloor}, \dots, C_{2\lfloor \alpha_r n \rfloor}) = (\sum_{j=1}^r \alpha_j + o(1))n $。
• 若 $ G $ 為平衡二分圖，且 $ |V_1| = |V_2| = N = (2 + 8\xi)n $，且 $ \delta(G) > (\frac{7}{8} + 9\xi)N $，則 $ G $ 的任何二邊著色均包含單色 $ C_{2n} $。
• 以 $ \widetilde{H} $ 為例，其 $ \delta(\widetilde{H}) = \frac{3}{4}N $ 且無單色 $ C_{4n} $，顯示 $ c \geq \frac{3}{4} $ 為必要條件，且 $ c = \frac{7}{8} $ 的界在該閾值內為緊緻。
• 在結構化子圖（例如 $ G_B[H_1, H_2] $）中使用連通匹配，以嵌入大型環，度條件確保了連通性與擴張性。
• 證明依賴於正則性與度分佈論證的迭代應用，以識別具有足夠連通性以支援大型單色環的子圖。