[论文解读] Biquaternions algebra and its applications by solving of some theoretical physics equations

L. A. Alexeyeva|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文在闵可夫斯基空间上构建了双四元数的微分代数，以求解八阶双曲型系统，将麦克斯韦方程和狄拉克方程统一为单一的双四元数大梯度形式。通过傅里叶变换推导了双波方程的基本解与广义解，刻画了冲击波的形成条件，并在洛伦兹与庞加莱群作用下构造了相对论不变量，得到了新的标量方程（KGFSh）及具有显式调和与静态解的旋量场。

ABSTRACT

The functional space of biquaternions is considered on Minkovskiy space. The scalar-vector biquaternions representation is used which was offered by W. Hamilton for quaternions. With introduction of differential operator - a mutual complex gradient (bigradients), which generalize the notion of a gradient on biquaternions space, biquaternionic wave (biwave) equations are considered, their invariance for group of the Lorentz-Puancare transformations is shown and their generalized solutions are obtained. Biquaternionic form of generalized Maxwell-Dirac equation is constructed and its solutions are researched on base of the differential biquaternions algebra. Its generalized decisions are built with use of scalar potential. The new equation for these potential are constructed which unites known equations of quantum mechanics (Klein-Gordon and Schrodinger Eq.). The nonstationary, steady-state and harmonic on time scalar fields and generated by them the spinors and spinors fields in biquaternionic form are constructed.

研究动机与目标

• 在闵可夫斯基空间上发展双四元数微分代数，以求解理论物理中的高阶双曲型系统。
• 将麦克斯韦方程与狄拉克方程统一为单一的双四元数大梯度方程形式。
• 利用傅里叶变换推导双波方程的基本解与广义解。
• 分析冲击波的形成条件，并推导波前的跃迁条件。
• 在洛伦兹与庞加莱变换下构造相对论不变量，并推导新的标量场方程（KGFSh）。

提出的方法

• 形式化具有复标量与矢量部分的双四元数代数，通过四元数乘积与非交换运算定义乘法。
• 引入大梯度算子，作为双四元数标量-矢量场梯度的推广。
• 对双波方程应用傅里叶变换，以获得基本解与广义解。
• 利用广义函数理论及大梯度算子叠加性质，简化解的构造过程。
• 推导双波方程在正交变换、洛伦兹变换与庞加莱变换下的相对论不变性。
• 通过将C-场与由KGFSh方程解导出的基本调和旋量进行卷积，构造旋量场。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将双四元数代数扩展至闵可夫斯基空间，以描述理论物理中的复标量-矢量场？
• RQ2 双波方程与麦克斯韦-狄拉克方程能否统一为单一的双四元数大梯度方程？
• RQ3 双波方程的基本解与广义解是什么？它们如何通过傅里叶变换推导？
• RQ4 在双四元数场模型中，冲击波形成的条件与传播特性是什么？
• RQ5 KGFSh方程的解如何与相对论不变性及旋量场结构相关联？

主要发现

• 双波方程存在通过傅里叶变换推导出的基本解与广义解，可处理奇点源。
• 冲击波前满足由双四元数大梯度形式推导出的特定跃迁条件。
• 双波方程在洛伦兹与庞加莱变换下保持不变，从而导出场传播的相对论公式。
• 推导出一个新的标量方程——KGFSh方程，其结合了克莱因-戈尔登、福克与薛定谔算子，且广义解已被定义。
• 基本调和旋量被显式构造为如下形式：${\bf Sp}_{\xi}^{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( i + \frac{\xi}{\|\xi\|} \right) \exp\left( i((\xi,x) - \rho\tau \pm \|\xi\|\tau) \right) $，具有单位范数与零伪范数。
• 通过与调和旋量卷积构造C-场与G-场旋量场，得到能量-动量张量 $ {\bf \Xi} = 1 - i \frac{\xi}{\|\xi\|} $，且满足 $ \|{\bf \Xi}\| = 2 $，$ \langle\!\langle{\bf \Xi}\rangle\!\rangle = 0 $。